F = x y^2 z^3 i + 2 x^2 y j + 3 x^2 y^2 z^2 k
G = 2xy i + (x^2 + 2yz) j + y^2 k
um é conservativo e o outro não é. Determine é qual, e, para o campo conservativo, encontre a função potencial escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois campos vetoriais, e , e precisa descobrir qual deles é conservativo. Pra quem não tá muito familiarizado, um campo conservativo é aquele que tem uma função potencial escalar associada, ou seja, dá pra encontrar uma função tal que . Se não for conservativo, não tem essa função. Então, nosso esquema é descobrir qual dos dois campos tem essa propriedade e, se for o caso, achar a função .

Passo 2

Primeiro, pra saber se um campo vetorial é conservativo, a gente verifica se o rotacional desse campo é zero. O rotacional, denotado por , basicamente mede a “giro” do campo. Se esse giro for nulo em todo lugar, então o campo é conservativo. Vamos calcular o rotacional de e de pra ver qual deles atende a esse critério.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Dados:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, o rotacional de fica:
Como esse rotacional não é zero, concluímos que não é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos fazer a mesma coisa com .
Dados:
Calculando o rotacional de :
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, o rotacional de fica:
Como o rotacional de é zero, concluímos que é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial escalar tal que . Isso significa que:
Integrando a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função qualquer que depende de e .
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Onde é uma função de .
Por fim, derivamos em relação a e igualamos à terceira equação:
Isso nos dá:
Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

O campo é conservativo, e sua função potencial escalar é , onde é uma constante.

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