um é conservativo e o outro não é. Determine é qual, e, para o campo conservativo, encontre a função potencial escalar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois campos vetoriais,
e
, e precisa descobrir qual deles é conservativo. Pra quem não tá muito familiarizado, um campo conservativo é aquele que tem uma função potencial escalar associada, ou seja, dá pra encontrar uma função
tal que
. Se não for conservativo, não tem essa função. Então, nosso esquema é descobrir qual dos dois campos tem essa propriedade e, se for o caso, achar a função
.
Passo 2
Primeiro, pra saber se um campo vetorial é conservativo, a gente verifica se o rotacional desse campo é zero. O rotacional, denotado por
, basicamente mede a “giro” do campo. Se esse giro for nulo em todo lugar, então o campo é conservativo. Vamos calcular o rotacional de
e de
pra ver qual deles atende a esse critério.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Dados:
Calculando cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então, o rotacional de
fica:
Como esse rotacional não é zero, concluímos que
não é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos fazer a mesma coisa com
.
Dados:
Calculando o rotacional de
:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então, o rotacional de
fica:
Como o rotacional de
é zero, concluímos que
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial escalar
tal que
. Isso significa que:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função qualquer que depende de
e
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Onde
é uma função de
.
Por fim, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira equação:
Isso nos dá:
Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
O campo
é conservativo, e sua função potencial escalar é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
depende somente da área do retângulo, não da sua posição em
.
a) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
é a curva forma pelo quadrado de vértices
e
, orientada no sentido anti-horário.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
é conservativo?
e uma região
calculando ambas as integrais
nos itens abaixo:
a) é o disco
.
b) é o retângulo limitado por
e
.
c) é o quadrado com vértices
e
.
d) é a região semicircular
.
e) é a região elíptica
.
f) é a região dentro do círculo
e fora do círculo
a)
b)
c)
d)
e)
f)