é conservativo?
Passo 1
Então, galera! A gente recebeu uma questão sobre um campo vetorial
e precisa descobrir se ele é conservativo. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e o cálculo do rotacional para verificar essa propriedade. Vamos precisar calcular o rotacional de
e verificar se ele é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Uma das formas de verificar isso é calculando o rotacional de
, que deve ser igual a zero. Então, nosso objetivo é calcular
e ver se todas as componentes desse rotacional são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar as componentes
,
e
do nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Agora, vamos montar o rotacional:
Simplificando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 4
Para que
seja conservativo, o rotacional
deve ser igual a zero em todas as componentes. Então, vamos igualar cada componente a zero:
- Componente
:
Para que isso seja válido para todos os valores de
,
e
, os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero:
- Componente
:
Já encontramos que
, então:
A componente
já simplificou para zero, então está tudo certo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo se
e
.
Exercícios relacionados
um é conservativo e o outro não é. Determine é qual, e, para o campo conservativo, encontre a função potencial escalar.
depende somente da área do retângulo, não da sua posição em
.
e uma região
calculando ambas as integrais
nos itens abaixo:
a) é o disco
.
b) é o retângulo limitado por
e
.
c) é o quadrado com vértices
e
.
d) é a região semicircular
.
e) é a região elíptica
.
f) é a região dentro do círculo
e fora do círculo
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a) Suponha que
é uma curva fechada, simples que não engloba a origem. Use o Teorema de Green para determinar o valor de
b) Agora, suponha que
é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
c) Sejam e
duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
c) Sejam
d) Use o resultado da parte c) para determinar o valor de
onde
é qualquer curva fechada, simples que engloba a origem.