F = (3 x^2 + 3 y^2 z sen(x z)) i + (a y cos(x z) + b z) j + (3 x y^2 sen(x z) + 5 y) k
é conservativo?

Passo 1

Então, galera! A gente recebeu uma questão sobre um campo vetorial e precisa descobrir se ele é conservativo. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e o cálculo do rotacional para verificar essa propriedade. Vamos precisar calcular o rotacional de e verificar se ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Uma das formas de verificar isso é calculando o rotacional de , que deve ser igual a zero. Então, nosso objetivo é calcular e ver se todas as componentes desse rotacional são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar as componentes , e do nosso campo :
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
Agora, vamos montar o rotacional:
Simplificando cada componente:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 4

Para que seja conservativo, o rotacional deve ser igual a zero em todas as componentes. Então, vamos igualar cada componente a zero:
  1. Componente :
Para que isso seja válido para todos os valores de , e , os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero:
  1. Componente :
Já encontramos que , então:
A componente já simplificou para zero, então está tudo certo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo se e .

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