é conservativo?

Passo 1

Então, galera! A gente recebeu uma questão sobre um campo vetorial e precisa descobrir se ele é conservativo. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e o cálculo do rotacional para verificar essa propriedade. Vamos precisar calcular o rotacional de e verificar se ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Uma das formas de verificar isso é calculando o rotacional de , que deve ser igual a zero. Então, nosso objetivo é calcular e ver se todas as componentes desse rotacional são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar as componentes , e do nosso campo :
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
Agora, vamos montar o rotacional:
Simplificando cada componente:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 4

Para que seja conservativo, o rotacional deve ser igual a zero em todas as componentes. Então, vamos igualar cada componente a zero:
  1. Componente :
Para que isso seja válido para todos os valores de , e , os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero:
  1. Componente :
Já encontramos que , então:
A componente já simplificou para zero, então está tudo certo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo se e .

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um é conservativo e o outro não é. Determine é qual, e, para o campo conservativo, encontre a função potencial escalar.
depende somente da área do retângulo, não da sua posição em .
e uma região calculando ambas as integrais
nos itens abaixo:
a) é o disco .
b) é o retângulo limitado por e .
c) é o quadrado com vértices e .
d) é a região semicircular .
e) é a região elíptica .
f) é a região dentro do círculo e fora do círculo
a) Suponha que é uma curva fechada, simples que não engloba a origem. Use o Teorema de Green para determinar o valor de
b) Agora, suponha que é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
c) Sejam e duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
d) Use o resultado da parte c) para determinar o valor de
onde é qualquer curva fechada, simples que engloba a origem.