é conservativo?
Passo 1
Então, galera! A gente recebeu uma questão sobre um campo vetorial
e precisa descobrir se ele é conservativo. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e o cálculo do rotacional para verificar essa propriedade. Vamos precisar calcular o rotacional de
e verificar se ele é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Uma das formas de verificar isso é calculando o rotacional de
, que deve ser igual a zero. Então, nosso objetivo é calcular
e ver se todas as componentes desse rotacional são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar as componentes
,
e
do nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Agora, vamos montar o rotacional:
Simplificando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 4
Para que
seja conservativo, o rotacional
deve ser igual a zero em todas as componentes. Então, vamos igualar cada componente a zero:
- Componente
:
Para que isso seja válido para todos os valores de
,
e
, os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero:
- Componente
:
Já encontramos que
, então:
A componente
já simplificou para zero, então está tudo certo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo se
e
.