a) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
ointC y^2 d x+x^2 d y
onde C é a curva forma pelo quadrado de vértices (0,0),(1,0),(0,1) e (1,1), orientada no sentido anti-horário.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A primeira parte pede para usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha, e a segunda parte quer que a gente verifique o resultado calculando a integral diretamente. Vamos precisar conhecer o Teorema de Green e entender como aplicar integrais de linha em curvas fechadas, especialmente em formas geométricas simples como um quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
partial Qpartial x = partial (x^2)partial x = 2x
partial Ppartial y = partial (y^2)partial y = 2y
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2y

Passo 4

A região integral duplaD (2x - 2y) , dx , dy = integral0^1 integral0^1 (2x - 2y) , dx , dy é o quadrado com vértices em , , e . Então, os limites de integração para e são de 0 a 1.
Vamos montar a integral dupla:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 (2x - 2y) , dx = [ x^2 - 2y x ]0^1 = (1^2 - 2y cdot 1) - (0 - 0) = 1 - 2y :
integral0^1 (1 - 2y) , dy
Agora, a integral externa fica:

Passo 6

Resolvendo a integral externa:
integral0^1 (1 - 2y) , dy = [ y - y^2 ]0^1 = (1 - 1) - (0 - 0) = 0

Passo 7

Portanto, usando o Teorema de Green, a integral de linha é zero.

Passo 8

Agora, vamos verificar essa resposta calculando a integral diretamente ao longo da curva . A curva é um quadrado com quatro lados: de a , de a , de a e de a .

Passo 9

Vamos parametrizar cada lado e calcular a integral em cada segmento.
Lado 1: de (0,0) a (1,0)
Aqui, integral0^1 y^2 , dx + x^2 , dy = integral0^1 0 , dx + x^2 cdot 0 = 0 e integral0^1 y^2 cdot 0 + 1^2 , dy = integral0^1 1 , dy = 1 varia de 0 a 1. Então, integral1^0 1^2 , dx + x^2 cdot 0 = -integral0^1 1 , dt = -1 .
A integral fica:
integral1^0 y^2 cdot 0 + 0^2 , dy = 0
Lado 2: de (1,0) a (1,1)
Aqui, e varia de 0 a 1. Então, .
A integral fica:
Lado 3: de (1,1) a (0,1)
Aqui, e varia de 1 a 0 (decrescente). Então, e , onde varia de 0 a 1.
A integral fica:
Lado 4: de (0,1) a (0,0)
Aqui, e varia de 1 a 0 (decrescente). Então, .
A integral fica:

Passo 10

Somando as integrais de todos os lados:
0 + 1 + (-1) + 0 = 0

Resposta

b) Calculando diretamente, a integral de linha também é igual a 0.

Resumo Final

Ambas as abordagens, usando o Teorema de Green e calculando diretamente, mostram que a integral de linha é 0.

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