a) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
é a curva forma pelo quadrado de vértices
e
, orientada no sentido anti-horário.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A primeira parte pede para usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha, e a segunda parte quer que a gente verifique o resultado calculando a integral diretamente. Vamos precisar conhecer o Teorema de Green e entender como aplicar integrais de linha em curvas fechadas, especialmente em formas geométricas simples como um quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
A região
é o quadrado com vértices em
,
,
e
. Então, os limites de integração para
e
são de 0 a 1.
Vamos montar a integral dupla:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, a integral externa fica:
Passo 6
Resolvendo a integral externa:
Passo 7
Portanto, usando o Teorema de Green, a integral de linha é zero.
Passo 8
Agora, vamos verificar essa resposta calculando a integral diretamente ao longo da curva
. A curva
é um quadrado com quatro lados: de
a
, de
a
, de
a
e de
a
.
Passo 9
Vamos parametrizar cada lado e calcular a integral em cada segmento.
Lado 1: de (0,0) a (1,0)
Aqui,
e
varia de 0 a 1. Então,
.
A integral fica:
Lado 2: de (1,0) a (1,1)
Aqui,
e
varia de 0 a 1. Então,
.
A integral fica:
Lado 3: de (1,1) a (0,1)
Aqui,
e
varia de 1 a 0 (decrescente). Então,
e
, onde
varia de 0 a 1.
A integral fica:
Lado 4: de (0,1) a (0,0)
Aqui,
e
varia de 1 a 0 (decrescente). Então,
.
A integral fica:
Passo 10
Somando as integrais de todos os lados:
Resposta
b) Calculando diretamente, a integral de linha também é igual a 0.
Resumo Final
Ambas as abordagens, usando o Teorema de Green e calculando diretamente, mostram que a integral de linha
é 0.