F=M(x, y) i+N(x, y) j
e uma região D calculando ambas as integrais
ointpartial D M d x+N d y integral duplaD(Nx-My) d A
nos itens abaixo:
a) F=-x^2 y i+x y^2 j, D é o disco x^2+y^2 <= 4.
b) F=(x^2-y) i+(x+y^2) j, D é o retângulo limitado por x=0, x=2, y=0 e y=1.
c) F=y i+x^2 j, D é o quadrado com vértices (1,1),(-1,1),(-1,-1) e (1,-1).
d) F=2 y i+x j, D é a região semicircular x^2+y^2 <= a^2, y >= 0.
e) F=3 y i+-4 x j, D é a região elíptica x^2+2 y^2 <= 4.
f) F=(x^2 y+x) i+(y^3-x y^2) j, D é a região dentro do círculo x^2+y^2=9 e fora do círculo x^2+y^2=4

Passo 1

Vamos resolver o item a) do exercício. O enunciado nos apresenta um campo vetorial F = -x^2 y i + x y^2 j e uma região D que é um disco definido por x^2 + y^2 <= 4. O conteúdo abordado aqui é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. Para resolver, vamos calcular ambas as integrais mencionadas utilizando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as componentes M(x, y) e N(x, y) do campo vetorial F:
M(x, y) = -x^2 y
N(x, y) = x y^2

Passo 3

Vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira partial D:
ointpartial D M dx + N dy
Segundo o Teorema de Green, essa integral de linha é igual à integral dupla sobre a região D de (Nx - My) dA. Vamos primeiro calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Nx = partialpartial x(x y^2) = y^2
My = partialpartial y(-x^2 y) = -x^2
Portanto,
Nx - My = y^2 - (-x^2) = x^2 + y^2

Passo 5

Agora, calculamos a integral dupla:
integral duplaD (x^2 + y^2) dA
Como a região D é um disco de raio 2, é conveniente utilizar coordenadas polares para facilitar a integração. Lembrando que em coordenadas polares, x^2 + y^2 = r^2 e dA = r dr dtheta.

Passo 6

Convertendo a integral para coordenadas polares:
integral duplaD r^2 cdot r , dr dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^3 dr dtheta
Calculando a integral interna:
integral0^2 r^3 dr = [ r^44 ]0^2 = 164 = 4
Agora, a integral externa:
integral0^2pi 4 dtheta = 4 cdot 2pi = 8pi

Passo 7

Segundo o Teorema de Green:
ointpartial D M dx + N dy = integral duplaD (Nx - My) dA = 8pi

Resposta

A integral de linha ointpartial D M dx + N dy é igual a 8pi, e a integral dupla integral duplaD(Nx-My) d A também é igual a 8pi.

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