e uma região
calculando ambas as integrais
nos itens abaixo:
a)
é o disco
.
b)
é o retângulo limitado por
e
.
c)
é o quadrado com vértices
e
.
d)
é a região semicircular
.
e)
é a região elíptica
.
f)
é a região dentro do círculo
e fora do círculo
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Vamos resolver o item a) do exercício. O enunciado nos apresenta um campo vetorial
e uma região
que é um disco definido por
. O conteúdo abordado aqui é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. Para resolver, vamos calcular ambas as integrais mencionadas utilizando o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as componentes
e
do campo vetorial
:
Passo 3
Vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira
:
Segundo o Teorema de Green, essa integral de linha é igual à integral dupla sobre a região
de
. Vamos primeiro calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 5
Agora, calculamos a integral dupla:
Como a região
é um disco de raio
, é conveniente utilizar coordenadas polares para facilitar a integração. Lembrando que em coordenadas polares,
e
.
Passo 6
Convertendo a integral para coordenadas polares:
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa:
Passo 7
Segundo o Teorema de Green:
Resposta
A integral de linha
é igual a
, e a integral dupla
também é igual a
.