ointC(x^2 y^3-3 y) d x+x^3 y^2 d y
depende somente da área do retângulo, não da sua posição em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve calcular uma integral de linha sobre um caminho fechado no plano. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente as integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a área limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema de Green. Basicamente, ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de um caminho fechado com a integral dupla sobre a área delimitada por esse caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, Q = x^3 y^2 partial Qpartial x = 3x^2 y^2 :
P = x^2 y^3 - 3y partial Ppartial y = 3x^2 y^2 - 3
Segundo, :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD ( 3x^2 y^2 - (3x^2 y^2 - 3) ) dA = integral duplaD 3 , dA

Passo 5

A integral dupla integral duplaD 3 , dA = 3A é simplesmente 3 vezes a área de , que no caso é a área do retângulo. Vamos chamar a área do retângulo de .
Então:

Resposta

Portanto, a integral de linha dada é igual a três vezes a área do retângulo, ou seja:
ointC(x^2 y^3-3 y) dx + x^3 y^2 dy = 3A

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