depende somente da área do retângulo, não da sua posição em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve calcular uma integral de linha sobre um caminho fechado
no plano. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente as integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a área limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema de Green. Basicamente, ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de um caminho fechado com a integral dupla sobre a área delimitada por esse caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
A integral dupla
é simplesmente 3 vezes a área de
, que no caso é a área do retângulo. Vamos chamar a área do retângulo de
.
Então:
Resposta
Portanto, a integral de linha dada é igual a três vezes a área do retângulo, ou seja:
Exercícios relacionados
a) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
é a curva forma pelo quadrado de vértices
e
, orientada no sentido anti-horário.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
b) Verifique sua resposta do item a), calculando a integral diretamente.
pode ser o rotacional de outro campo vetorial
? Por quê ou por que não?
um é conservativo e o outro não é. Determine é qual, e, para o campo conservativo, encontre a função potencial escalar.
é conservativo?