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Uma curva tem a propriedade: o vetor posição r(t) é sempre perpendicular ao vetor tangente r'(t). Mostre que a curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelo vetor posição r(t), e é dito que esse vetor está sempre perpendicular ao seu vetor tangente r'(t). Nosso objetivo é mostrar que essa curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas e propriedades de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Se o vetor posição r(t) é perpendicular ao vetor tangente r'(t), então o produto interno (ou escalar) entre eles é igual a zero:

Passo 3

Vamos calcular essa derivada. O produto interno representa o quadrado da magnitude do vetor posição:
Se derivarmos ambos os lados em relação a t, temos:

Passo 4

Sabemos pelo enunciado que , então:
Isso significa que é constante.

Passo 5

Como é constante, vamos chamar essa constante de . Portanto:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:

Passo 6

A equação representa todos os pontos que estão a uma distância R da origem. Geometricamente, isso descreve uma superfície esférica com raio R e centro na origem.

Resposta

Portanto, mostramos que a curva cuja posição r(t) é sempre perpendicular ao seu vetor tangente r'(t) está sobre uma superfície esférica com centro na origem.

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