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Uma curva tem a propriedade: o vetor posição
é sempre perpendicular ao vetor tangente
. Mostre que a curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem.
Uma curva tem a propriedade: o vetor posição
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelo vetor posição
, e é dito que esse vetor está sempre perpendicular ao seu vetor tangente
. Nosso objetivo é mostrar que essa curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas e propriedades de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Se o vetor posição
é perpendicular ao vetor tangente
, então o produto interno (ou escalar) entre eles é igual a zero:
Passo 3
Vamos calcular essa derivada. O produto interno
representa o quadrado da magnitude do vetor posição:
Se derivarmos ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Sabemos pelo enunciado que
, então:
Isso significa que
é constante.
Passo 5
Como
é constante, vamos chamar essa constante de
. Portanto:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Passo 6
A equação
representa todos os pontos que estão a uma distância
da origem. Geometricamente, isso descreve uma superfície esférica com raio
e centro na origem.
Resposta
Portanto, mostramos que a curva cuja posição
é sempre perpendicular ao seu vetor tangente
está sobre uma superfície esférica com centro na origem.