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Uma curva tem a propriedade: o vetor posição é sempre perpendicular ao vetor tangente . Mostre que a curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelo vetor posição , e é dito que esse vetor está sempre perpendicular ao seu vetor tangente . Nosso objetivo é mostrar que essa curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas e propriedades de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Se o vetor posição é perpendicular ao vetor tangente , então o produto interno (ou escalar) entre eles é igual a zero:

Passo 3

Vamos calcular essa derivada. O produto interno representa o quadrado da magnitude do vetor posição:
Se derivarmos ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Sabemos pelo enunciado que , então:
Isso significa que é constante.

Passo 5

Como é constante, vamos chamar essa constante de . Portanto:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:

Passo 6

A equação representa todos os pontos que estão a uma distância da origem. Geometricamente, isso descreve uma superfície esférica com raio e centro na origem.

Resposta

Portanto, mostramos que a curva cuja posição é sempre perpendicular ao seu vetor tangente está sobre uma superfície esférica com centro na origem.

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