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Uma hélice é uma curva cuja tangente faz um ângulo constante com um vetor unitário u. Mostre que a curva , é uma hélice, determinando um vetor apropriado u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre hélices, que são curvas onde a tangente faz um ângulo constante com um vetor fixo. A gente precisa mostrar que a curva dada por é uma hélice e encontrar o vetor apropriado .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para mostrar que uma curva é uma hélice, precisamos verificar se o vetor tangente à curva forma sempre o mesmo ângulo com um vetor fixo . Para isso, vamos calcular o vetor tangente da curva .

Passo 3

O vetor tangente é a derivada da posição da curva em relação a . Vamos derivar cada componente de :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar um vetor unitário tal que o ângulo entre e seja constante para todo . Para isso, podemos tentar achar um vetor que tenha uma relação fixa com os componentes de .
Observando as componentes de , vemos que as partes quadráticas em nos componentes x e z são opostas. Isso sugere que podemos escolher ao longo do eixo y, onde não há dependência de .

Passo 5

Vamos escolher na direção do eixo y, ou seja, . Esse é um vetor unitário, porque sua magnitude é 1:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar entre e :
A magnitude de é:

Passo 7

O cosseno do ângulo entre e é dado por:
Simplificando:

Passo 8

Para que o ângulo seja constante, deve ser constante. No entanto, vemos que depende de , o que sugere que nossa escolha de não satisfaz a condição da hélice.
Isso significa que precisamos reconsiderar a escolha de .

Passo 9

Vamos tentar outra abordagem. Observando a curva , podemos notar que os componentes e são simétricas em relação a . Vamos tentar escolher na direção combinada desses eixos.
Vamos considerar . Primeiro, verificamos se é um vetor unitário:
Para torná-lo unitário, dividimos por sua magnitude:

Passo 10

Agora, calculamos o produto escalar entre e :
A magnitude de que já calculamos é .

Passo 11

Agora, calculamos :
Ainda depende de , então não é constante. Parece que precisamos de outra estratégia.

Passo 12

Vamos tentar calcular o produto escalar de com um vetor geral , e encontrar condições para que seja constante.
Queremos que isso seja proporcional a , de modo que o ângulo seja constante.
Comparando termos, percebemos que os termos em devem se cancelar. Assim:

Passo 13

Com , o produto escalar fica:
Para que o ângulo seja constante, o termo com também deve ser zero:

Passo 14

Portanto, e . O vetor unitário fica:
Como é unitário:
Então,

Resposta

A curva é uma hélice, e o vetor unitário apropriado é .

Exercícios relacionados

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Uma curva tem a propriedade: o vetor posição é sempre perpendicular ao vetor tangente . Mostre que a curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem.
Calcule os limites.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
c) elipse , em sentido horário