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Uma hélice é uma curva cuja tangente faz um ângulo constante com um vetor unitário u. Mostre que a curva
, é uma hélice, determinando um vetor apropriado u.
Uma hélice é uma curva cuja tangente faz um ângulo constante com um vetor unitário u. Mostre que a curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre hélices, que são curvas onde a tangente faz um ângulo constante com um vetor fixo. A gente precisa mostrar que a curva dada por
é uma hélice e encontrar o vetor apropriado
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para mostrar que uma curva é uma hélice, precisamos verificar se o vetor tangente à curva forma sempre o mesmo ângulo com um vetor fixo
. Para isso, vamos calcular o vetor tangente
da curva
.
Passo 3
O vetor tangente
é a derivada da posição da curva em relação a
. Vamos derivar cada componente de
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar um vetor unitário
tal que o ângulo entre
e
seja constante para todo
. Para isso, podemos tentar achar um vetor
que tenha uma relação fixa com os componentes de
.
Observando as componentes de
, vemos que as partes quadráticas em
nos componentes x e z são opostas. Isso sugere que podemos escolher
ao longo do eixo y, onde não há dependência de
.
Passo 5
Vamos escolher
na direção do eixo y, ou seja,
. Esse é um vetor unitário, porque sua magnitude é 1:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
A magnitude de
é:
Passo 7
O cosseno do ângulo
entre
e
é dado por:
Simplificando:
Passo 8
Para que o ângulo
seja constante,
deve ser constante. No entanto, vemos que
depende de
, o que sugere que nossa escolha de
não satisfaz a condição da hélice.
Isso significa que precisamos reconsiderar a escolha de
.
Passo 9
Vamos tentar outra abordagem. Observando a curva
, podemos notar que os componentes
e
são simétricas em relação a
. Vamos tentar escolher
na direção combinada desses eixos.
Vamos considerar
. Primeiro, verificamos se é um vetor unitário:
Para torná-lo unitário, dividimos por sua magnitude:
Passo 10
Agora, calculamos o produto escalar entre
e
:
A magnitude de
que já calculamos é
.
Passo 11
Agora, calculamos
:
Ainda depende de
, então
não é constante. Parece que precisamos de outra estratégia.
Passo 12
Vamos tentar calcular o produto escalar de
com um vetor
geral
, e encontrar condições para que
seja constante.
Queremos que isso seja proporcional a
, de modo que o ângulo seja constante.
Comparando termos, percebemos que os termos em
devem se cancelar. Assim:
Passo 13
Com
, o produto escalar fica:
Para que o ângulo seja constante, o termo com
também deve ser zero:
Passo 14
Portanto,
e
. O vetor unitário
fica:
Como
é unitário:
Então,
Resposta
A curva
é uma hélice, e o vetor unitário apropriado é
.
Exercícios relacionados
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Uma curva tem a propriedade: o vetor posição é sempre perpendicular ao vetor tangente
. Mostre que a curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem.
Uma curva tem a propriedade: o vetor posição
Calcule os limites.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
c) elipse , em sentido horário
c) elipse