f(x)=-x^3-2 x^2+2
Determine seus Pontos Criticos
Analise os intervalos de crescimento e decrescimento da Função
Use o Testes da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da
Função.
Determine os Pontos de Inflexão do gráfico da Função
Analise os intervalos de mudança de concavidade do Gráfico da Função. Esboce o Gráfico da Função
a) Porros ceírin: f^prime(x)=0 Rightarrow-3 x^2-4 x=0
ll x(-3 x-4)=0 & Rightarrow x^prime & =0 -3 x-4=0 & x^prime=-1,3
-3 x=4
10 131,3 x=-43=-1,3
& b)ec): ANKLlist OR UARIAca) do simm & D f^prime(x)=-3 x^2-4 x
f^prime prime(4)=12 x(-3 x^2-4 x)=-6 x-4.
PovTos de wfueta f^n(+)=0 Rightarrow
-6 x-4=0 Rightarrow-6 x=4 Rightarrow
x=4-6=-23=-0,67
20.66
2
AUPLSK DA VAQRCAS DO SINAL
D. f^prime prime(A)
INStLUnW f^prime prime(t)(+1-) conduIndt
f(+)
x<-0,6rang<= oplus PAnt Cun
x>-0,67 Theta PANABPDN,
f^prime(x)=dd x(x^3-2 x^2+2)=-3 x^2-4 x
f^prime prime(x)=1d x(-3 x^2-4 x)=-6 x-4
InTLUMOO f^prime(c)(t 1-) f(t)(0 / c) f(c x) msin/niv.
ll f(-113)=-(-1,3)^3-2(-1,3)^2+2=-(-2,2)-2(1,71+2= 1,3 1,7 & 2,2-3,4+2=4,2-3,4=0,8 1,31,39 172,21 & 17,20,8
e) f(0)=2 PonTo m^prime+1 m 0 fon f(-1,3)=0, B Pond Movim f(x)
lll Decarsc CMosc CNSSC plcina & plamut PlBANO

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos, analisar onde a função está crescendo ou decrescendo, usar o Teste da Primeira Derivada pra achar máximos e mínimos, encontrar os pontos de inflexão, ver onde muda a concavidade e, por fim, esboçar o gráfico dessa função. Para tudo isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde a derivada primeira é zero ou não existe. Vamos calcular a derivada primeira de f'(x) = ddx(-x^3 - 2x^2 + 2) = -3x^2 - 4x :

Passo 3

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
-3x^2 - 4x = 0
Fatorando:
x(-3x - 4) = 0
Então, temos duas soluções:
x = 0 ou -3x - 4 = 0 Rightarrow x = -43 approx -1,33
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, usamos a derivada primeira f'(-2) = -3(-2)^2 - 4(-2) = -12 + 8 = -4 , (negativo) .
  • Intervalo f'(-1) = -3(-1)^2 - 4(-1) = -3 + 4 = 1 , (positivo) :
    Escolha f'(1) = -3(1)^2 - 4(1) = -3 - 4 = -7 , (negativo) :
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Intervalo :
    Escolha :
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  • Intervalo :
    Escolha :
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Primeira Derivada para determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
  • No ponto :
    • A derivada muda de negativa para positiva passando por esse ponto.
    • Isso indica um mínimo local.
  • No ponto :
    • A derivada muda de positiva para negativa passando por esse ponto.
    • Isso indica um máximo local.

Passo 6

Vamos agora encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda. Para isso, calculamos a derivada segunda:
f''(x) = ddx(-3x^2 - 4x) = -6x - 4
Igualamos a derivada segunda a zero:
-6x - 4 = 0 Rightarrow x = -46 = -23 approx -0,67
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Vamos analisar a concavidade da função:
  • Para f''(-1) = -6(-1) - 4 = 6 - 4 = 2 , (positivo) :
    • Escolha f''(0) = -6(0) - 4 = -4 , (negativo) : Concavidade para cima.
  • Para :
    • Escolha : Concavidade para baixo.

Passo 8

Por último, vamos esboçar o gráfico da função:
  • Pontos críticos:
    • [sca<==1] [ axis lines=midd<=, xlabel=$x$, ylabel=$f(x)$, domain=-2:2, samp<=s=100, ymin=-10, ymax=10, xtick=-2,-1,0,1,2, ytick=-10,-5,0,5,10, grid=both ] addplot [blue, thick] -x^3 -2*x^2 +2; (mínimo)
    • (máximo)
  • Ponto de inflexão:
  • Comportamento geral:
    • A função decresce para , cresce entre e , e decresce novamente para .
    • A concavidade muda de para cima para para baixo em .
Gráfico:

Resposta

Os pontos críticos da função são (mínimo) e (máximo). A função está decrescendo nos intervalos e , e crescendo no intervalo . Há um ponto de inflexão em , onde a concavidade muda de para cima para para baixo.

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