Determine seus Pontos Criticos
Analise os intervalos de crescimento e decrescimento da Função
Use o Testes da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da
Função.
Determine os Pontos de Inflexão do gráfico da Função
Analise os intervalos de mudança de concavidade do Gráfico da Função. Esboce o Gráfico da Função
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos, analisar onde a função está crescendo ou decrescendo, usar o Teste da Primeira Derivada pra achar máximos e mínimos, encontrar os pontos de inflexão, ver onde muda a concavidade e, por fim, esboçar o gráfico dessa função. Para tudo isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde a derivada primeira é zero ou não existe. Vamos calcular a derivada primeira de :

Passo 3

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Fatorando:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, usamos a derivada primeira .
  • Intervalo :
    Escolha :
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Intervalo :
    Escolha :
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  • Intervalo :
    Escolha :
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Primeira Derivada para determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
  • No ponto :
    • A derivada muda de negativa para positiva passando por esse ponto.
    • Isso indica um mínimo local.
  • No ponto :
    • A derivada muda de positiva para negativa passando por esse ponto.
    • Isso indica um máximo local.

Passo 6

Vamos agora encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda. Para isso, calculamos a derivada segunda:
Igualamos a derivada segunda a zero:
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Vamos analisar a concavidade da função:
  • Para :
    • Escolha : Concavidade para cima.
  • Para :
    • Escolha : Concavidade para baixo.

Passo 8

Por último, vamos esboçar o gráfico da função:
  • Pontos críticos:
    • (mínimo)
    • (máximo)
  • Ponto de inflexão:
  • Comportamento geral:
    • A função decresce para , cresce entre e , e decresce novamente para .
    • A concavidade muda de para cima para para baixo em .
Gráfico:

Resposta

Os pontos críticos da função são (mínimo) e (máximo). A função está decrescendo nos intervalos e , e crescendo no intervalo . Há um ponto de inflexão em , onde a concavidade muda de para cima para para baixo.

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Resposta:

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Resposta e
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