Encontre a derivada das funções trigonométrica inversas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função trigonométrica inversa
. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas inversas e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa
. Na verdade, a função trigonométrica inversa correta é a arccosecante, que é geralmente representada como
. Provavelmente houve um pequeno erro de digitação no enunciado. Então, vamos trabalhar com
.
Passo 3
Vamos chamar
. Isso significa que
. Agora, queremos encontrar
, que é a derivada da função inversa.
Passo 4
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
:
Aqui, usamos a derivada da função cosecante:
.
Passo 5
Agora, queremos
, que é o inverso de
:
Passo 6
Vamos expressar
e
em termos de
. Sabemos que
, então
. Além disso,
.
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão de
:
Resposta
A derivada de
é: