Encontre a derivada das funções trigonométrica inversas abaixo: d/dx arccossec(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função trigonométrica inversa . Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas inversas e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa . Na verdade, a função trigonométrica inversa correta é a arccosecante, que é geralmente representada como . Provavelmente houve um pequeno erro de digitação no enunciado. Então, vamos trabalhar com .

Passo 3

Vamos chamar . Isso significa que . Agora, queremos encontrar , que é a derivada da função inversa.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a y:
Aqui, usamos a derivada da função cosecante: .

Passo 5

Agora, queremos , que é o inverso de :

Passo 6

Vamos expressar e em termos de x. Sabemos que , então . Além disso, .

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão de :

Resposta

A derivada de é:

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