A medição da pulsação em batimentos por minuto (bpm) de um paciente resultou em três medidas 70 bpm, 80 bpm e 120 bpm. Para determinar com melhor precisão a medição o médico precisa saber qual valor que minimiza a expressão b=(x-70)^2+(x-80)^2+(x-120)^2. Qual valor que minimiza b ?
& d bd x=dd x(x-70)^2+dd x(x-80)^2+dd x(x-120)^2 Rightarrow & d bd x=2(x-70)+2(x-80)+2(x-120) & d yd x=2 x-140+2 x-160+2 x-240 & d yd x=6 x-540 & Pord GIITID: 6 x-540=0 & x=5406=90

Resposta: x=90

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre medir a pulsação de um paciente. A gente tem três medidas de batimentos por minuto (bpm): 70 bpm, 80 bpm e 120 bpm. O objetivo é encontrar um valor que minimize a expressão . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o valor de que torna o menor possível.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a expressão representa a soma dos quadrados das diferenças entre um valor e cada uma das medidas de pulsação. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz essa soma ser a menor possível. Para isso, vamos derivar a expressão em relação a e encontrar o ponto onde a derivada é zero, pois nesse ponto a função atinge seu mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de d bd x = dd x(x - 70)^2 + dd x(x - 80)^2 + dd x(x - 120)^2 em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra da derivada para cada termo:
d bd x = 2(x - 70) + 2(x - 80) + 2(x - 120)

Passo 5

Simplificando a expressão:
d bd x = 2x - 140 + 2x - 160 + 2x - 240
d bd x = 6x - 540

Passo 6

Para encontrar o valor de 6x - 540 = 0 que minimiza , igualamos a derivada a zero:

Passo 7

Resolvendo para 6x = 540 :
x = 5406 = 90

Resposta

x = 90

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