Determine os pontos da curva
mais próximos da origem.
Para simplificar considere encontrar o mínimo da expressão da distância
.
Resposta
e
Para simplificar considere encontrar o mínimo da expressão da distância
Resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos na curva
que estão mais próximos da origem (0,0). Para facilitar, vamos minimizar a expressão da distância ao quadrado, que é
. Isso envolve um pouco de cálculo e geometria, mas vou explicar tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A distância
entre um ponto
e a origem
é dada pela fórmula:
Como estamos minimizando
, ficamos com:
Passo 3
Agora, queremos minimizar
sob a condição de que
. Para isso, podemos expressar
em termos de
usando a equação da curva:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Para encontrar o mínimo de
, derivamos a função em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo essa equação:
Isso nos dá
ou
.
Passo 5
Com os valores de
, encontramos
usando
:
- Se
, então - Se
, então
Resposta
Os pontos mais próximos da origem na curva
são
e
.