Determine os pontos da curva x y = 1 mais próximos da origem.
Para simplificar considere encontrar o mínimo da expressão da distância d^2.
Resposta P(1, 1) e Q - 1, -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos na curva que estão mais próximos da origem (0,0). Para facilitar, vamos minimizar a expressão da distância ao quadrado, que é . Isso envolve um pouco de cálculo e geometria, mas vou explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A distância entre um ponto e a origem é dada pela fórmula:
Como estamos minimizando , ficamos com:

Passo 3

Agora, queremos minimizar sob a condição de que . Para isso, podemos expressar em termos de usando a equação da curva:
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Para encontrar o mínimo de , derivamos a função em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo essa equação:
Isso nos dá ou .

Passo 5

Com os valores de , encontramos usando :
  • Se , então
  • Se , então

Resposta

Os pontos mais próximos da origem na curva são e .

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