22 integral0^raizln 2 integral0^y x y^5 e^x^2 y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
22 integral0^raizln 2 integral0^y x y^5 e^x^2 y^2 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando primeiro em e depois em . Vamos precisar usar uma substituição para facilitar a resolução da integral interna.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna em integral0^y x y^5 e^x^2 y^2 , dx:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão:
Seja dt = 2x y^2 , dx Rightarrow x , dx = dt2 y^2, então derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituindo na integral:
integral x y^5 e^x^2 y^2 , dx = y^5 integral x e^t , dx = y^5 cdot 12 y^2 integral e^t , dt = y^32 e^t + C
Voltando à variável original y^32 e^x^2 y^2 + C :

Passo 5

Aplicando os limites de integração de [ y^32 e^y^4 - y^32 e^0 ] = y^32 (e^y^4 - 1) a :

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa sobre 22 integral0^raizln 2 y^32 (e^y^4 - 1) , dy :
11 integral0^raizln 2 y^3 (e^y^4 - 1) , dy
Simplificando:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
11 ( integral y^3 e^y^4 , dy - integral y^3 , dy )

Passo 8

Primeira integral: integral y^3 e^y^4 , dy = 14 integral e^u , du = 14 e^u + C = 14 e^y^4 + C
Fazemos a substituição , então ou
Então:

Passo 9

Segunda integral:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão principal:
11 ( 14 e^y^4 - y^44 ) gr|0^raizln 2 = 114 ( e^(raizln 2)^4 - (raizln 2)^4 )
Simplificando mais:
114 ( e^(ln 2)^2 - (ln 2)^2 )

Resposta

O valor da integral é:
114 ( e^(ln 2)^2 - (ln 2)^2 ) approx 3,127

Exercícios relacionados