Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando primeiro em
e depois em
. Vamos precisar usar uma substituição para facilitar a resolução da integral interna.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna em
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão:
Seja
, então derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituindo na integral:
Voltando à variável original
:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral externa sobre
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 8
Primeira integral:
Fazemos a substituição
, então
ou
Então:
Passo 9
Segunda integral:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão principal:
Simplificando mais:
Resposta
O valor da integral é: