Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, especialmente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar esse fator de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral de em relação a :
Aplicando os limites de integração de a :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na integral original e multiplicar pelo fator :
Podemos simplificar os números:
Então, temos:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
A primeira integral é direta:
Já a segunda integral precisa de uma substituição para ser resolvida.

Passo 6

Para a segunda integral, fazemos uma substituição para simplificar:
  • Seja
  • Então,
Isso transforma a integral em:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Calculando :
Simplificando:

Resposta

Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Portanto, a resposta final é aproximadamente 33,88.

Exercícios relacionados