27 integral0^pi / 4 integral0^sen x 4 e^-y cos x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
27 integral0^pi / 4 integral0^sen x 4 e^-y cos x , dy , dx
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, especialmente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a integral0^sen x 4 e^-y cos x , dy:
4 cos x integral0^sen x e^-y , dy
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar esse fator de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral de integral e^-y , dy = -e^-y + C em relação a 4 cos x [ -e^-y ]0^sen x = 4 cos x ( -e^-sen x + e^0 ):
4 cos x (1 - e^-sen x)
Aplicando os limites de integração de a :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na integral original e multiplicar pelo fator 27 integral0^pi / 4 4 cos x (1 - e^-sen x) , dx:
27 times 4 = 108
Podemos simplificar os números:
108 integral0^pi / 4 cos x (1 - e^-sen x) , dx
Então, temos:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
108 ( integral0^pi / 4 cos x , dx - integral0^pi / 4 cos x e^-sen x , dx )
A primeira integral é direta:
integral cos x , dx = sin x + C
Já a segunda integral precisa de uma substituição para ser resolvida.

Passo 6

Para a segunda integral, fazemos uma substituição para simplificar:
  • Seja integral e^-u , du = -e^-u + C
  • Então, -e^-sen x g|0^pi /4 = -e^- sen (pi /4) + e^0
Isso transforma a integral em:
1 - e^ - raiz22
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, juntando tudo:
108 ( sin x g|0^pi /4 - ( 1 - e^ - raiz22 ) )
Calculando 108 ( raiz22 - 0 -1 + e^ - raiz22 ):
108 ( raiz22 -1 + e^ - raiz22 )
Simplificando:

Resposta

Calculando os valores numéricos:
raiz22 approx 0.7071
e^- raiz22 approx 0.6065
Substituindo:
108 ( 0.7071 - 1 + 0.6065 ) = 108 times 0.3136 approx 33.88
Portanto, a resposta final é aproximadamente 33,88.

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