25 integral1^2 integral0^x^2 e^y / x d y d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla:
25 integral1^2 integral0^x^2 e^y / x , dy , dx
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente integrais duplas.
O que vamos precisar para resolver:
  1. Entender como calcular integrais duplas.
  2. Saber integrar funções exponenciais.
  3. Aplicar a técnica de integração por partes, se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^x^2 e^y / x , dy:
integral e^u cdot x , du = x integral e^u , du = x e^u + C = x e^y / x + C
Para integrar x e^x^2 / x - x e^0 = x e^x - x cdot 1 = x e^x - x em relação a , podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar . Então, ou .
Reescrevendo a integral:
Agora, avaliamos de a :

Passo 3

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a integral1^2 (x e^x - x) , dx de 1 a 2:
integral1^2 x e^x , dx - integral1^2 x , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Primeira integral: x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Aqui, usamos integração por partes. Seja:
  • [x e^x - e^x]1^2 = (2 e^2 - e^2) - (1 e^1 - e^1) = e^2 - 0
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Então, a integral de 1 a 2 é:

Passo 5

Segunda integral: 12 x^2 + C
A integral de [12 x^2]1^2 = 12 (4) - 12 (1) = 2 - 0,5 = 1,5 em relação a é:
Avaliada de 1 a 2:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:
integral1^2 (x e^x - x) , dx = (e^2) - (1,5) = e^2 - 1,5
Por fim, multiplicamos pelo 25:
25 (e^2 - 1,5)

Resposta

A solução da integral é .

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