Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla que envolve funções trigonométricas e polinomiais. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integração dupla. Precisamos saber como integrar primeiro em relação a e depois em relação a , além de entender um pouco sobre funções trigonométricas como o cosseno, secante e tangente.

Passo 2

Vamos começar entendendo a integral dada:
Aqui, temos uma integral dupla onde integramos primeiro em relação a de 0 até , e depois em relação a de 0 até . O número 24 está multiplicando toda a integral.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a . Como é uma constante em relação a , podemos tratá-la como tal durante a integração.
A integral de em relação a é:
Portanto, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Sabemos que:
Então:
Elevando ao quarto poder:

Passo 5

Substituindo de volta na integral interna:
Então, a integral interna simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar isso em relação a :
Podemos reescrever como :

Passo 7

Para integrar , lembramos que . Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. : Sabemos que
Aplicando esses resultados:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos avaliar de 0 a :
Para :
Então:
Para :
Todos os termos envolvendo vão ser zero, e .
Então, substituindo:

Passo 10

Simplificando:
Podemos racionalizar o denominador se quiser:

Resposta

A resposta final da integral é:

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