24 integral0^pi / 6 integral0^sec y tan y x^3 cos ^4 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla que envolve funções trigonométricas e polinomiais. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integração dupla. Precisamos saber como integrar primeiro em relação a e depois em relação a , além de entender um pouco sobre funções trigonométricas como o cosseno, secante e tangente.

Passo 2

Vamos começar entendendo a integral dada:
24 integral0^pi / 6 integral0^sec y tan y x^3 cos^4 y , dx , dy
Aqui, temos uma integral dupla onde integramos primeiro em relação a de 0 até , e depois em relação a de 0 até . O número 24 está multiplicando toda a integral.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar integral x^3 , dx = x^44 + C em relação a integral0^sec y tan y x^3 cos^4 y , dx = cos^4 y [ x^44 ]0^sec y tan y = cos^4 y ( (sec y tan y)^44 - 0 ) . Como é uma constante em relação a , podemos tratá-la como tal durante a integração.
A integral de em relação a é:
Portanto, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar sec y = 1cos y e tan y = sin ycos y . Sabemos que:
sec y tan y = 1cos y cdot sin ycos y = sin ycos^2 y
Então:
(sec y tan y)^4 = ( sin ycos^2 y )^4 = sin^4 ycos^8 y
Elevando ao quarto poder:

Passo 5

Substituindo de volta na integral interna:
cos^4 y cdot sin^4 ycos^8 y = sin^4 ycos^4 y = sin^4 y cdot sec^4 y
Então, a integral interna simplifica para:
(sec y tan y)^44 cos^4 y = sin^4 y4 cos^4 y

Passo 6

Agora, vamos integrar isso em relação a 24 integral0^pi / 6 sin^4 y4 cos^4 y , dy = 6 integral0^pi / 6 sin^4 ycos^4 y , dy :
6 integral0^pi / 6 tan^4 y , dy
Podemos reescrever como :

Passo 7

Para integrar tan^4 y = (tan^2 y)^2 = (sec^2 y - 1)^2 = sec^4 y - 2 sec^2 y + 1 , lembramos que 6 integral0^pi / 6 (sec^4 y - 2 sec^2 y + 1) , dy . Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. 6 [ tan y sec^2 y3 + 23 tan y - 2 tan y + y ]0^pi / 6 : Sabemos que 6 [ tan y sec^2 y3 - 43 tan y + y ]0^pi / 6
Aplicando esses resultados:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos avaliar de 0 a tan pi6 = 1raiz3, sec pi6 = 2raiz3 :
Para tan y sec^2 y3 = 1raiz3 cdot (2raiz3)^23 = 1raiz3 cdot 433 = 49raiz3 :
- 43 tan y = -43 cdot 1raiz3 = -43raiz3
Então:
y = pi6
6 ( 49raiz3 - 43raiz3 + pi6 ) - 6 (0) = 6 ( -89raiz3 + pi6 )
Para :
Todos os termos envolvendo vão ser zero, e .
Então, substituindo:

Passo 10

Simplificando:
6 cdot ( pi6 - 89raiz3 ) = pi - 163raiz3
Podemos racionalizar o denominador se quiser:
pi - 16raiz39

Resposta

A resposta final da integral é:
pi - 16raiz39

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