Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla que envolve funções trigonométricas e polinomiais. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integração dupla. Precisamos saber como integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, além de entender um pouco sobre funções trigonométricas como o cosseno, secante e tangente.
Passo 2
Vamos começar entendendo a integral dada:
Aqui, temos uma integral dupla onde integramos
primeiro em relação a
de 0 até
, e depois em relação a
de 0 até
. O número 24 está multiplicando toda a integral.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar
em relação a
. Como
é uma constante em relação a
, podemos tratá-la como tal durante a integração.
A integral de
em relação a
é:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que:
Então:
Elevando ao quarto poder:
Passo 5
Substituindo de volta na integral interna:
Então, a integral interna simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Podemos reescrever
como
:
Passo 7
Para integrar
, lembramos que
. Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
-
: Sabemos que -
-
Aplicando esses resultados:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos avaliar de 0 a
:
Para
:
Então:
Para
:
Todos os termos envolvendo
vão ser zero, e
.
Então, substituindo:
Passo 10
Simplificando:
Podemos racionalizar o denominador se quiser:
Resposta
A resposta final da integral é: