26 integral0^pi integral0^3 cos phi theta sen phi d theta d phi

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Aqui, estamos lidando com integrais em coordenadas polares. Para resolver, precisamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^3 cos phi theta sin phi , dtheta . A integral interna é:
sin phi integral0^3 cos phi theta , dtheta
Como é constante em relação a , podemos colocá-la fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral theta , dtheta = theta^22 em relação a sin phi [ (3 cos phi)^22 - 0^22 ] = sin phi ( 9 cos^2 phi2 ) = 92 sin phi cos^2 phi :
Aplicando os limites de integração:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
26 integral0^pi 92 sin phi cos^2 phi , dphi = 26 cdot 92 integral0^pi sin phi cos^2 phi , dphi
Simplificando:
26 cdot 92 = 117
Então, temos:
117 integral0^pi sin phi cos^2 phi , dphi

Passo 5

Para resolver a integral u = cos phi implies du = -sin phi , dphi implies -du = sin phi , dphi , fazemos uma substituição:
integral sin phi cos^2 phi , dphi = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3 phi3 + C
Substituindo:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de -cos^3 pi3 + cos^3 03 = -(-1)^33 + 1^33 = 13 + 13 = 23 a :

Resposta

Multiplicando pelo fator constante:
117 cdot 23 = 78
Portanto, o valor final da integral é 78.

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