b) f(x)=e^-3 x2-6 e^-4 x^22 x+1 f^prime(x)=-32 e^-3 x2-6 e^-4 x^22 x+1(-8 x^2-8 x(2 x+1)^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a função . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira parte da função: u'(x) = ddx(-3x2) = -32 . A regra básica é que a derivada de ddx ( e^-3x2 ) = e^-3x2 cdot -32 = -32 e^-3x2 é , onde é a função dentro do expoente.
Aqui, . Derivando em relação a :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte: v'(x) = ( -8x )(2x + 1) - (-4x^2)(2)(2x + 1)^2 = -16x^2 - 8x + 8x^2 (2x + 1)^2 = -8x^2 - 8x (2x + 1)^2 . Primeiro, vamos focar na função dentro do expoente: ddx ( e^v(x) ) = e^v(x) cdot v'(x) = e^-4x^22x + 1 cdot -8x^2 - 8x (2x + 1)^2 .
Para derivar ddx ( -6 e^-4x^22x + 1 ) = -6 cdot e^-4x^22x + 1 cdot -8x^2 - 8x (2x + 1)^2 = -6 e^-4x^22x + 1 ( -8x^2 - 8x (2x + 1)^2 ) , usamos a regra do quociente:
Agora, aplicando a regra da cadeia para a função exponencial:
Multiplicando pelo coeficiente -6:

Resposta

A derivada da função é:
f^prime(x) = -32 e^-3x2 - 6 e^-4x^22x + 1 ( -8x^2 - 8x (2x + 1)^2 )

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