v) f(x) = x * arctan(x) f'(x) = arctan(x) + x/(1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e a sua derivada . O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que são produto de duas funções. Para resolver, vamos usar a regra do produto e a derivada da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do produto. Se você tem uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é:
Isso significa que derivamos a primeira função, multiplicamos pela segunda, e depois somamos a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

No nosso caso, temos e . Vamos derivar cada uma delas:
  • Derivada de é , porque a derivada de em relação a é 1.
  • Derivada de é . Isso é uma fórmula padrão para a derivada da função arco-tangente.

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
Isso confirma a derivada fornecida no enunciado.

Resposta

A derivada de é .

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