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Seja
e considere as bases
(a) Encontre as coordenadas de
em relação às bases
e
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor
no espaço bidimensional
e duas bases diferentes:
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir as coordenadas desse vetor
em relação a cada uma dessas bases. Para isso, vamos precisar entender como representar um vetor em uma base específica, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base, resultam no vetor
.
Passo 2
Vamos começar encontrando as coordenadas de
em relação à base
. A base
é a base canônica, onde os vetores são
e
. Para representar
nessa base, a gente simplesmente observa os componentes de
.
Então, se
, isso significa que:
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
em relação à base
. Aqui, precisamos encontrar dois números, digamos
e
, tais que:
Substituindo
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
As coordenadas do vetor
são:
- Na base
: - Na base
:
Exercícios relacionados
(a) Determine uma base ortogonal
de
tal que
é uma base ortogonal do plano
.
Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(a)
(a)
© Se
mostre que
é um vetor do subespaço
e determine coeficientes
e
tais que
.
Seja
e considere as bases
(b) Determine a matriz de mudança de base
de
para
.