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Seja v=(2,3) in R^2 e considere as bases
B=(1,0),(0,1) e B^prime=(0,1),(2,3)
(a) Encontre as coordenadas de v em relação às bases B e B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor no espaço bidimensional e duas bases diferentes: e . Nosso objetivo aqui é descobrir as coordenadas desse vetor em relação a cada uma dessas bases. Para isso, vamos precisar entender como representar um vetor em uma base específica, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base, resultam no vetor .

Passo 2

Vamos começar encontrando as coordenadas de v = 2 cdot (1, 0) + 3 cdot (0, 1) em relação à base . A base é a base canônica, onde os vetores são e . Para representar nessa base, a gente simplesmente observa os componentes de .
Então, se , isso significa que:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas de v = a cdot (0, 1) + b cdot (2, 3) em relação à base (2, 3) = a cdot (0, 1) + b cdot (2, 3) . Aqui, precisamos encontrar dois números, digamos 0a + 2b = 2 1a + 3b = 3 e 2b = 2 implies b = 1 , tais que:
a + 3(1) = 3 implies a + 3 = 3 implies a = 0
Substituindo :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor são:
  • Na base :
  • Na base :

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