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Seja e considere as bases
(a) Encontre as coordenadas de em relação às bases e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor no espaço bidimensional e duas bases diferentes: e . Nosso objetivo aqui é descobrir as coordenadas desse vetor em relação a cada uma dessas bases. Para isso, vamos precisar entender como representar um vetor em uma base específica, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base, resultam no vetor .

Passo 2

Vamos começar encontrando as coordenadas de em relação à base . A base é a base canônica, onde os vetores são e . Para representar nessa base, a gente simplesmente observa os componentes de .
Então, se , isso significa que:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas de em relação à base . Aqui, precisamos encontrar dois números, digamos e , tais que:
Substituindo :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor são:
  • Na base :
  • Na base :

Exercícios relacionados

(a) Determine uma base ortogonal de tal que é uma base ortogonal do plano .
Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(a)
© Se mostre que é um vetor do subespaço e determine coeficientes e tais que .
Seja e considere as bases
(b) Determine a matriz de mudança de base de para .