(a) Determine uma base ortogonal de tal que é uma base ortogonal do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base ortogonal para o espaço tridimensional , ou seja, um conjunto de três vetores que são todos perpendiculares entre si. Além disso, os dois primeiros vetores dessa base devem formar uma base ortogonal para um plano específico chamado . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como podemos estender isso para .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ortogonal. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Quando esses vetores são todos perpendiculares entre si, a base é chamada de ortogonal.
No nosso caso, já temos dois vetores e que formam uma base ortogonal para o plano . Isso significa que:
onde representa o produto escalar, e isso indica que e são perpendiculares.
Passo 3
Agora, para estender essa base para , precisamos encontrar um terceiro vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Uma maneira eficiente de fazer isso é utilizando o produto vetorial entre e .
O produto vetorial de dois vetores em resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula do produto vetorial é:
Passo 4
Vamos calcular usando o produto vetorial. Suponha que:
Então, o produto vetorial é dado por:
Esse vetor será automaticamente ortogonal a e , completando assim nossa base ortogonal para .
Resposta
A base ortogonal de é , onde é o produto vetorial de e :