(a) Determine uma base ortogonal V1, V2, V3 de R^3 tal que V1, V2 é uma base ortogonal do plano alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base ortogonal para o espaço tridimensional , ou seja, um conjunto de três vetores que são todos perpendiculares entre si. Além disso, os dois primeiros vetores dessa base devem formar uma base ortogonal para um plano específico chamado . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como podemos estender isso para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ortogonal. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Quando esses vetores são todos perpendiculares entre si, a base é chamada de ortogonal.
No nosso caso, já temos dois vetores V1 cdot V2 = 0 e que formam uma base ortogonal para o plano . Isso significa que:
onde representa o produto escalar, e isso indica que e são perpendiculares.

Passo 3

Agora, para estender essa base para V3 = V1 times V2 , precisamos encontrar um terceiro vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Uma maneira eficiente de fazer isso é utilizando o produto vetorial entre e .
O produto vetorial de dois vetores em resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula do produto vetorial é:

Passo 4

Vamos calcular V1 = a b c e V2 = d e f usando o produto vetorial. Suponha que:
V3 = b cdot f - c cdot e c cdot d - a cdot f a cdot e - b cdot d
Então, o produto vetorial é dado por:
Esse vetor será automaticamente ortogonal a e , completando assim nossa base ortogonal para .

Resposta

A base ortogonal de V3 = V1 times V2 é , onde é o produto vetorial de e :

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