Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(a) S=(x, y) in R^2 mid x+2 y=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores e precisamos encontrar uma base para esse subespaço vetorial. Isso significa que buscamos um ou mais vetores que sejam suficientes para gerar todo o conjunto e que sejam linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação x = -2y para expressar uma variável em função da outra. Vamos isolar (x, y) = (-2y, y) :
Isso nos permite escrever qualquer vetor em como:

Passo 3

Agora, podemos fatorar o (x, y) = y cdot (-2, 1) na expressão acima:
Isso mostra que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor . Ou seja, é formado por todos os vetores que são combinações lineares de .

Passo 4

Para formar uma base, precisamos de um conjunto de vetores que gere todo o subespaço e que sejam linearmente independentes. Como é uma linha direita em , basta de um vetor para formar a base. Já identificamos que pode gerar todo .

Resposta

Uma base para é .

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