Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores
e precisamos encontrar uma base para esse subespaço vetorial. Isso significa que buscamos um ou mais vetores que sejam suficientes para gerar todo o conjunto
e que sejam linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação
para expressar uma variável em função da outra. Vamos isolar
:
Isso nos permite escrever qualquer vetor
em
como:
Passo 3
Agora, podemos fatorar o
na expressão acima:
Isso mostra que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
. Ou seja,
é formado por todos os vetores que são combinações lineares de
.
Passo 4
Para formar uma base, precisamos de um conjunto de vetores que gere todo o subespaço e que sejam linearmente independentes. Como
é uma linha direita em
, basta de um vetor para formar a base. Já identificamos que
pode gerar todo
.
Resposta
Uma base para
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
,
e
vetores em
. Determine o subespaço gerado
.
Verifique se os seguintes subconjuntos de
são subespaços. Em caso afirmativo, mostre que são.
et
(a) Determine uma base ortogonal
de
tal que
é uma base ortogonal do plano
.
22
Seja e considere as bases
Seja
(a) Encontre as coordenadas de
em relação às bases
e
.