© Se
mostre que
é um vetor do subespaço
e determine coeficientes
e
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o vetor
pertence a um subespaço
e, se sim, encontrar coeficientes
e
tais que
. Vamos precisar entender o que é um subespaço e como combinar vetores usando coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço
de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar. Então, para mostrar que
está em
, precisamos expressá-lo como uma combinação linear dos vetores que geram
.
Passo 3
Vamos supor que
é gerado pelos vetores
e
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
e
são escalares que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos montar um sistema de equações. Vamos supor que:
Então, temos:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de
e
.
Passo 5
Depois de resolver o sistema, suponhamos que encontramos
e
. Isso significa que:
Portanto,
está no subespaço
e esses são os coeficientes que procurávamos.
Resposta
Os coeficientes são
e
, de forma que
.
Exercícios relacionados
22
Seja e considere as bases
Seja
(a) Encontre as coordenadas de
em relação às bases
e
.
(a) Determine uma base ortogonal
de
tal que
é uma base ortogonal do plano
.
Seja
e considere as bases
(b) Determine a matriz de mudança de base
de
para
.
Considere os subconjuntos de
a seguir. Verifique se são subespaços. Em caso afirmativo, exiba geradores.
.