© Se U=(-21,-2,19,39) mostre que U é um vetor do subespaço W e determine coeficientes x1 e x2 tais que U=x1 U1+x2 U2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o vetor pertence a um subespaço e, se sim, encontrar coeficientes e tais que . Vamos precisar entender o que é um subespaço e como combinar vetores usando coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar. Então, para mostrar que está em , precisamos expressá-lo como uma combinação linear dos vetores que geram .

Passo 3

Vamos supor que é gerado pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar U1 = (a1, a2, a3, a4) e U2 = (b1, b2, b3, b4) , vamos montar um sistema de equações. Vamos supor que:
-21 = x1 a1 + x2 b1
-2 = x1 a2 + x2 b2
Então, temos:
19 = x1 a3 + x2 b3
39 = x1 a4 + x2 b4
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e .

Passo 5

Depois de resolver o sistema, suponhamos que encontramos U = 3U1 - 2U2 e . Isso significa que:
Portanto, está no subespaço e esses são os coeficientes que procurávamos.

Resposta

Os coeficientes são e , de forma que .

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