Seja v=(3,1,5) in R^3 e considere as bases
B=(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0) e B^prime=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)
(b) Determine a matriz de mudança de base MB^prime^B de B para B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a matriz de mudança de base que faz a transição da base para a base . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz nos permite converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No caso, queremos converter as coordenadas dos vetores da base B = (0,1,0), (0,0,1), (1,0,0) para a base B^prime = (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) .
A base é dada por:
E a base é:

Passo 3

Vamos encontrar como cada vetor da base bi = a1 cdot b'1 + a2 cdot b'2 + a3 cdot b'3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base . Isso significa que para cada vetor em , queremos encontrar escalares tais que:
onde são os vetores da base .

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de (0,1,0) = a1 cdot (1,1,0) + a2 cdot (0,1,1) + a3 cdot (1,0,1) , que é a1 + a3 = 0 a1 + a2 = 1 a2 + a3 = 0 . Queremos encontrar a3 = -a1 a2 = 1 - a1 1 - a1 - a1 = 0 Rightarrow 2a1 = 1 Rightarrow a1 = 12 tal que:
a1 = 12, a2 = 12, a3 = -12
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo vetor de (0,0,1) = a1 cdot (1,1,0) + a2 cdot (0,1,1) + a3 cdot (1,0,1) , que é a1 + a3 = 0 a1 + a2 = 0 a2 + a3 = 1 . Queremos:
a3 = -a1 a2 = -a1 -a1 + (-a1) = 1 Rightarrow -2a1 = 1 Rightarrow a1 = -12
Isso resulta no sistema:
a1 = -12, a2 = 12, a3 = 12
Resolvendo:
Logo:

Passo 6

Por último, o terceiro vetor de (1,0,0) = a1 cdot (1,1,0) + a2 cdot (0,1,1) + a3 cdot (1,0,1) é a1 + a3 = 1 a1 + a2 = 0 a2 + a3 = 0 . Queremos:
a2 = -a1 -a1 + a3 = 0 Rightarrow a3 = a1 a1 + a1 = 1 Rightarrow 2a1 = 1 Rightarrow a1 = 12
Isso dá o sistema:
a1 = 12, a2 = -12, a3 = 12
Resolvendo:
Assim:

Resposta

A matriz de mudança de base MB^prime^B = 12 & -12 & 12 12 & 12 & -12 -12 & 12 & 12 de para é:

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