23-24 A posição de um objeto em movimento circular é modelada pelas equações paramétricas fornecidas, nas quais é medido em segundos. Quanto tempo é necessário para completar uma volta? O movimento ocorre no sentido horário ou anti-horário?
23.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento circular de um objeto, usando equações paramétricas para determinar a posição dele ao longo do tempo. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para o objeto dar uma volta completa e se ele está se movendo no sentido horário ou anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular e análise das equações trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas dadas:
Essas equações descrevem a posição do objeto no plano ao longo do tempo .

Passo 3

Para encontrar o tempo necessário para completar uma volta, precisamos determinar o período do movimento circular. O período é o tempo que leva para o objeto retornar à mesma posição inicial.
Sabemos que as funções cosseno e seno têm um período de radianos. Isso significa que para , o objeto completa uma volta.

Passo 4

Então, o tempo necessário para completar uma volta é:

Passo 5

Agora, vamos analisar a direção do movimento. Olhando para as equações:
  • A equação de tem um cosseno positivo.
  • A equação de tem um seno negativo.
Em movimentos circulares, se tem um sinal negativo em relação a , isso indica que o movimento está ocorrendo no sentido horário.

Resposta

O objeto leva segundos para completar uma volta e se move no sentido horário.

Exercícios relacionados

Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: