Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que envolvem derivadas, e vamos usar a integração para achar a solução geral. Para isso, precisamos saber como integrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A equação está dizendo que essa derivada é igual a
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação. Integração é o processo inverso da diferenciação, então se integrarmos
, vamos recuperar
.
Então, integramos:
Do lado esquerdo, a integral de
em relação a
é simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos integrar
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração, que aparece porque estamos lidando com uma solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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;
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