Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y'(x) = tan(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que envolvem derivadas, e vamos usar a integração para achar a solução geral. Para isso, precisamos saber como integrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa a derivada de em relação a , ou seja, . A equação está dizendo que essa derivada é igual a .

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação. Integração é o processo inverso da diferenciação, então se integrarmos , vamos recuperar .
Então, integramos:
Do lado esquerdo, a integral de em relação a é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos integrar . Sabemos que:
onde é a constante de integração, que aparece porque estamos lidando com uma solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados