Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que envolvem derivadas, e vamos usar a integração para achar a solução geral. Para isso, precisamos saber como integrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa a derivada de em relação a , ou seja, . A equação está dizendo que essa derivada é igual a .

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação. Integração é o processo inverso da diferenciação, então se integrarmos , vamos recuperar .
Então, integramos:
Do lado esquerdo, a integral de em relação a é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos integrar . Sabemos que:
onde é a constante de integração, que aparece porque estamos lidando com uma solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Um reservatório de água tem o formato de um cilindro sem a tampa superior e tem uma superfície total de . Encontre os valores da altura h e raio da base r que maximizam a capacidade do reservatório.
23-24 A posição de um objeto em movimento circular é modelada pelas equações paramétricas fornecidas, nas quais é medido em segundos. Quanto tempo é necessário para completar uma volta? O movimento ocorre no sentido horário ou anti-horário?
23.
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: