Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial de primeira ordem:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções e usar a definição de diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é a derivada de
em relação a
. Para achar
, a gente vai integrar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Então, integramos:
Do lado esquerdo, a integral da derivada de
é simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos focar na integral do lado direito:
Fica um pouco complicada, mas dá para simplificar fazendo uma substituição.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Então,
e
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Note que o
no denominador e o
no numerador cancelam.
Passo 7
Agora, a integral ficou simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando para a variável original
, já que
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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23-24 A posição de um objeto em movimento circular é modelada pelas equações paramétricas fornecidas, nas quais
é medido em segundos. Quanto tempo é necessário para completar uma volta? O movimento ocorre no sentido horário ou anti-horário?
23.
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Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Encontre os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente e estude a concavidade da função
.