Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y'(x) = e^(raiz(x)) / raiz(x)

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial de primeira ordem:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções e usar a definição de diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que y'(x) é a derivada de y em relação a x. Para achar y(x), a gente vai integrar ambos os lados da equação em relação a x.

Passo 3

Então, integramos:
Do lado esquerdo, a integral da derivada de y é simplesmente y(x).

Passo 4

Agora, vamos focar na integral do lado direito:
Fica um pouco complicada, mas dá para simplificar fazendo uma substituição.

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Então, e , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral:
Note que o u no denominador e o u no numerador cancelam.

Passo 7

Agora, a integral ficou simples:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltando para a variável original x, já que :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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