Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y'(x) = (4 x - 8) / ((x - 2)^2 + 1)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para encontrar a solução, vamos usar a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais não definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no lado direito da equação:
Perceba que o numerador pode ser fatorado como . Assim, a fração fica:

Passo 3

Agora, a equação diferencial fica:
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , temos:
Substituindo na integral:
Voltando para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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