Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
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Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma equação diferencial, identificando sua ordem e grau algébrico. Além disso, tem que verificar se uma função específica é solução dessa equação. A matéria aqui é Equações Diferenciais, e para resolver vamos precisar entender o que são ordem e grau de uma equação diferencial e como substituir a função na equação para testar se ela é solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada presente nela. Na equação dada:
A derivada de maior ordem é a terceira derivada,
. Portanto, a ordem da equação é 3.
Passo 3
Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação diferencial. O grau é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação está polinomial em relação a essa derivada. Contudo, na nossa equação, a terceira derivada está dentro de uma raiz quadrada:
Para encontrar o grau, precisamos reescrever a equação de forma polinomial em
. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, a equação está polinomial em
, e o maior expoente é 2. Portanto, o grau algébrico é 2.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se a função dada é solução da equação diferencial:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas necessárias:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
Sabemos que
varia entre 0 e 1, então:
Enquanto
varia entre -1 e 1. A igualdade só ocorre quando
, ou seja,
, onde
é um inteiro. Nessas situações específicas, a função pode ser solução, mas não para todo
.
Resposta
A equação diferencial é de 3ª ordem e grau 2. A função
não é solução geral da equação diferencial dada, sendo solução apenas para valores específicos de
onde
, com
inteiro.
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