23-26 Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
da curva.
23.
23.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, e vamos precisar usar a derivada da função vetorial para achar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de
a função
passa pelo ponto
. Vamos igualar as componentes de
às coordenadas de
:
Resolvendo a primeira equação:
Vamos verificar na segunda equação:
Confere! Então, o valor de
é 0.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial
, que nos dará o vetor velocidade
. A derivada é feita componente a componente:
Derivando cada parte:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Vamos calcular
no ponto onde
:
Esse vetor
é o vetor diretor da reta tangente.
Passo 5
Com o ponto
e o vetor diretor
, podemos montar a equação vetorial da reta tangente. A forma geral da equação vetorial é:
Onde
é o ponto de tangência e
é um parâmetro.
Resposta
A equação vetorial da reta tangente é:
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Identifique os pontos de descontinuidade da função:
Esboce a região de integração e calcule a integral:
- Seja
. Determine
(a)