23-26 Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.
23.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto . Estamos trabalhando com cálculo vetorial, e vamos precisar usar a derivada da função vetorial para achar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de a função passa pelo ponto . Vamos igualar as componentes de às coordenadas de :
Resolvendo a primeira equação:
Vamos verificar na segunda equação:
Confere! Então, o valor de é 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dará o vetor velocidade . A derivada é feita componente a componente:
Derivando cada parte:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Vamos calcular no ponto onde :
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente.

Passo 5

Com o ponto e o vetor diretor , podemos montar a equação vetorial da reta tangente. A forma geral da equação vetorial é:
Onde é o ponto de tangência e é um parâmetro.

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:

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  1. Seja . Determine
    (a)