Esboce a região de integração e calcule a integral:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis,
e
. Para resolver isso, precisamos primeiro entender a região de integração no plano
e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão limitadas por:
-
varia de 1 a 4. - Para cada valor de
, varia de 0 até .
Então, no plano
, temos:
- A linha vertical de
até . - Para cada
, o vai de 0 até a curva .
Isso forma uma região que está abaixo da curva
, entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, a integral em relação a
. Mantemos
constante e integramos
com respeito a
.
A integral de
em relação a
é:
Portanto, multiplicando pela constante
:
Agora, avaliamos essa expressão de
até
:
Simplificando:
Passo 4
Com a integral interna resolvida, agora precisamos integrar o resultado em relação a
, de 1 a 4:
Como
é uma constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
Sabemos que:
Então, avaliando de 1 a 4:
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral calculada é igual a
.
Exercícios relacionados
23-26 Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
da curva.
23.
23.
Resolva o problema de valor inicial
- Seja
. Determine
(a)
Calcule as integrais abaixo.