Esboce a região de integração e calcule a integral:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis, e . Para resolver isso, precisamos primeiro entender a região de integração no plano e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão limitadas por:
  • varia de 1 a 4.
  • Para cada valor de , varia de 0 até .
Então, no plano , temos:
  • A linha vertical de até .
  • Para cada , o vai de 0 até a curva .
Isso forma uma região que está abaixo da curva , entre e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, a integral em relação a . Mantemos constante e integramos com respeito a .
A integral de em relação a é:
Portanto, multiplicando pela constante :
Agora, avaliamos essa expressão de até :
Simplificando:

Passo 4

Com a integral interna resolvida, agora precisamos integrar o resultado em relação a , de 1 a 4:
Como é uma constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
Sabemos que:
Então, avaliando de 1 a 4:
Multiplicando pelo fator :

Resposta

A integral calculada é igual a .

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23-26 Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.
23.
Resolva o problema de valor inicial
  1. Seja . Determine
    (a)
Calcule as integrais abaixo.