1. Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine
    (a) lim t 0(r(t)-r^prime(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão , onde . O conteúdo envolve cálculo de derivadas e limites de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar derivar e depois calcular a expressão pedida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r^prime(t) = ddt [cos t] , i + ddt [sen t] , j + ddt [1] , k , que é ddt [cos t] = -sen t e ddt [sen t] = cos t . A derivada de cada componente da função vetorial é:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença r(t) - r^prime(t) = (cos t , i + sen t , j + k) - (-sen t , i + cos t , j + 0 , k) :
Simplificando cada componente:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limt to 0 (cos t + sen t) = cos 0 + sen 0 = 1 + 0 = 1 tende a 0 de cada componente:
limt to 0 (sen t - cos t) = sen 0 - cos 0 = 0 - 1 = -1

Resposta

O limite é .

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