Resolva o problema de valor inicial
y'' - 2y' - 24y = 0 y(0) = 0 y'(0) = 20

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , por r, e y por 1 na equação diferencial. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução é:
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Primeiro, aplicamos :

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a derivada de y(t) para usar a segunda condição inicial :
Aplicando :
Como sabemos que , substituímos:
Então,
E, portanto,

Resposta

Finalmente, substituindo e na solução geral, temos:

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