Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
,
por
, e
por 1 na equação diferencial. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução é:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Primeiro, aplicamos
:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a derivada de
para usar a segunda condição inicial
:
Aplicando
:
Como sabemos que
, substituímos:
Então,
E, portanto,
Resposta
Finalmente, substituindo
e
na solução geral, temos: