1. Calcule para que , sendo e na base ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor de tal que a projeção do vetor sobre o vetor seja igual a metade de , ou seja, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a fórmula de projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro vetor . A fórmula é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o produto escalar de consigo mesmo, que basicamente nos dá o quadrado do comprimento de .

Passo 3

Nosso objetivo é que . Vamos então substituir na fórmula da projeção:

Passo 4

Como é diferente de zero, podemos cancelar dos dois lados da equação (desde que ):

Passo 5

Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo esses valores na equação:
Agora, vamos resolver para .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Reorganizando a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

Exercícios relacionados

Considere a notação para indicar que dois vetores são paralelos, ou seja, que têm a mesma direção. Usando as definições e propriedades de vetores, determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, dê um exemplo onde isso ocorre.
( ) Se , então .
( ) Se , então .
( ) Se , então .
, então .
( ) Se , então .
.
( ) Seja e , então ou .
Sejam e vetores no espaço, com .
(a) Determine o número , tal que seja ortogonal a .
(b) Mostre que .
Sejam , .
Calcule: .
Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas. © Se e são matrizes quadradas de mesma ordem, então .