1. Calcule m para que projbarv u=12 v, sendo u=(m, 2,0) e v=(2, m, 0) na base ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor de tal que a projeção do vetor sobre o vetor seja igual a metade de , ou seja, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a fórmula de projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor projv u = ( u cdot vv cdot v ) v sobre outro vetor . A fórmula é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o produto escalar de consigo mesmo, que basicamente nos dá o quadrado do comprimento de .

Passo 3

Nosso objetivo é que ( u cdot vv cdot v ) v = 12 v . Vamos então substituir na fórmula da projeção:

Passo 4

Como u cdot vv cdot v = 12 é diferente de zero, podemos cancelar dos dois lados da equação (desde que ):

Passo 5

Agora, vamos calcular u cdot v = m cdot 2 + 2 cdot m + 0 cdot 0 = 2m + 2m = 4m e v cdot v = 2 cdot 2 + m cdot m + 0 cdot 0 = 4 + m^2 :

Passo 6

Substituindo esses valores na equação:
4m4 + m^2 = 12
Agora, vamos resolver para .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 4m = 12 (4 + m^2) :
8m = 4 + m^2
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
m^2 - 8m + 4 = 0
Reorganizando a equação:
m = 8 pm raiz64 - 162 = 8 pm raiz482 = 8 pm 4raiz32 = 4 pm 2raiz3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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