- Calcule
para que
, sendo
e
na base ortonormal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor de
tal que a projeção do vetor
sobre o vetor
seja igual a metade de
, ou seja,
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a fórmula de projeção de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor
sobre outro vetor
. A fórmula é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo, que basicamente nos dá o quadrado do comprimento de
.
Passo 3
Nosso objetivo é que
. Vamos então substituir na fórmula da projeção:
Passo 4
Como
é diferente de zero, podemos cancelar
dos dois lados da equação (desde que
):
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo esses valores na equação:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Reorganizando a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.