Considere a notação u / / v para indicar que dois vetores são paralelos, ou seja, que têm a mesma direção. Usando as definições e propriedades de vetores, determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, dê um exemplo onde isso ocorre.
( ) Se u=v, então |u|=|v|.
( ) Se |u|=|v|, então u=v.
( ) Se u / / v, então u=v.
() Se u=v, então u / / v.
( ) Se w=u+v, então |w|=|u|+|v|.
() |5 v|=|-5 v|=5|v|.
( ) Seja u / / v,|u|=2 e |v|=4, então v=2 u ou v=-2 u.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado do exercício. A gente está trabalhando com vetores e paralelismo entre eles, que é indicado pela notação u / / v. O objetivo é verificar se certas afirmações sobre vetores são verdadeiras ou falsas, utilizando definições e propriedades básicas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como igualdade de vetores, magnitude (ou norma) dos vetores, e operações com vetores como adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos analisar a primeira afirmação:
( ) Se u = v, então |u| = |v|.
Aqui, se dois vetores são iguais, então eles têm exatamente a mesma magnitude, porque possuem a mesma direção e o mesmo comprimento. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

Agora, a segunda afirmação:
( ) Se |u| = |v|, então u = v.
Essa afirmação está dizendo que se dois vetores têm a mesma magnitude, eles são iguais. Mas isso não é necessariamente verdade, porque dois vetores podem ter a mesma magnitude mas direções diferentes. Por exemplo, considere u = 1 0 e v = 0 1. Ambos têm norma 1, mas u neq v. Portanto, essa afirmação é falsa.

Passo 4

Vamos para a terceira afirmação:
( ) Se u / / v, então u = v.
Aqui, a afirmação diz que se dois vetores são paralelos, eles são iguais. Mas vetores paralelos podem ter direções iguais ou opostas e magnitudes diferentes. Por exemplo, u = 2 2 e v = -2 -2 são paralelos, porém u neq v. Portanto, essa afirmação é falsa.

Passo 5

Agora, a quarta afirmação:
( ) Se u = v, então u / / v.
Se dois vetores são iguais, eles têm a mesma direção, então são paralelos. Logo, essa afirmação é verdadeira.

Passo 6

A quinta afirmação é:
( ) Se w = u + v, então |w| = |u| + |v|.
Essa afirmação sugere que a magnitude da soma de dois vetores é igual à soma das magnitudes individuais. Isso só é verdade se os vetores estiverem na mesma direção. Em geral, através da desigualdade triangular, sabemos que |w| <= |u| + |v|. Por exemplo, se u = 1 0 e v = 0 1, então w = 1 1, e |w| = raiz2 neq 1 + 1 = 2. Portanto, essa afirmação é falsa.

Passo 7

Agora, a sexta afirmação:
() |5 v| = |-5 v| = 5|v|.
Aqui, a norma de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao valor absoluto desse escalar vezes a norma do vetor. Então, |5 v| = 5 |v| e |-5 v| = 5 |v|. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 8

Por último, a sétima afirmação:
( ) Seja u / / v, |u| = 2 e |v| = 4, então v = 2 u ou v = -2 u.
Se dois vetores são paralelos, um é um múltiplo escalar do outro. Dado que |v| = 4 e |u| = 2, temos que |lambda| = |v||u| = 2. Portanto, v = 2 u ou v = -2 u. Essa afirmação é verdadeira.

Resposta

  1. Verdadeira.
  2. Falsa. Por exemplo, u = 1 0 e v = 0 1.
  3. Falsa. Por exemplo, u = 2 2 e v = -2 -2.
  4. Verdadeira.
  5. Falsa. Por exemplo, u = 1 0 e v = 0 1, então |w| = raiz2 neq 2.
  6. Verdadeira.
  7. Verdadeira.

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