Considere a notação
para indicar que dois vetores são paralelos, ou seja, que têm a mesma direção. Usando as definições e propriedades de vetores, determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, dê um exemplo onde isso ocorre.
( ) Se
, então
.
( ) Se
, então
.
( ) Se
, então
.
, então
.
( ) Se
, então
.
.
( ) Seja
e
, então
ou
.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Seja
Passo 1
Vamos resumir o enunciado do exercício. A gente está trabalhando com vetores e paralelismo entre eles, que é indicado pela notação
. O objetivo é verificar se certas afirmações sobre vetores são verdadeiras ou falsas, utilizando definições e propriedades básicas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como igualdade de vetores, magnitude (ou norma) dos vetores, e operações com vetores como adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos analisar a primeira afirmação:
( ) Se , então
.
( ) Se
Aqui, se dois vetores são iguais, então eles têm exatamente a mesma magnitude, porque possuem a mesma direção e o mesmo comprimento. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
Agora, a segunda afirmação:
( ) Se , então
.
( ) Se
Essa afirmação está dizendo que se dois vetores têm a mesma magnitude, eles são iguais. Mas isso não é necessariamente verdade, porque dois vetores podem ter a mesma magnitude mas direções diferentes. Por exemplo, considere
e
. Ambos têm norma 1, mas
. Portanto, essa afirmação é falsa.
Passo 4
Vamos para a terceira afirmação:
( ) Se , então
.
( ) Se
Aqui, a afirmação diz que se dois vetores são paralelos, eles são iguais. Mas vetores paralelos podem ter direções iguais ou opostas e magnitudes diferentes. Por exemplo,
e
são paralelos, porém
. Portanto, essa afirmação é falsa.
Passo 5
Agora, a quarta afirmação:
( ) Se , então
.
( ) Se
Se dois vetores são iguais, eles têm a mesma direção, então são paralelos. Logo, essa afirmação é verdadeira.
Passo 6
A quinta afirmação é:
( ) Se , então
.
( ) Se
Essa afirmação sugere que a magnitude da soma de dois vetores é igual à soma das magnitudes individuais. Isso só é verdade se os vetores estiverem na mesma direção. Em geral, através da desigualdade triangular, sabemos que
. Por exemplo, se
e
, então
, e
. Portanto, essa afirmação é falsa.
Passo 7
Agora, a sexta afirmação:
.
Aqui, a norma de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao valor absoluto desse escalar vezes a norma do vetor. Então,
e
. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 8
Por último, a sétima afirmação:
( ) Seja ,
e
, então
ou
.
( ) Seja
Se dois vetores são paralelos, um é um múltiplo escalar do outro. Dado que
e
, temos que
. Portanto,
ou
. Essa afirmação é verdadeira.
Resposta
- Verdadeira.
- Falsa. Por exemplo,
e . - Falsa. Por exemplo,
e . - Verdadeira.
- Falsa. Por exemplo,
e , então . - Verdadeira.
- Verdadeira.