Considere a notação para indicar que dois vetores são paralelos, ou seja, que têm a mesma direção. Usando as definições e propriedades de vetores, determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, dê um exemplo onde isso ocorre.
( ) Se , então .
( ) Se , então .
( ) Se , então .
, então .
( ) Se , então .
.
( ) Seja e , então ou .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado do exercício. A gente está trabalhando com **vetores** e **paralelismo** entre eles, que é indicado pela notação . O objetivo é verificar se certas afirmações sobre vetores são verdadeiras ou falsas, utilizando definições e propriedades básicas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como **igualdade de vetores**, **magnitude (ou norma) dos vetores**, e **operações com vetores** como adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos analisar a primeira afirmação:
**( ) Se , então .**
Aqui, se dois vetores são iguais, então eles têm exatamente a mesma magnitude, porque possuem a mesma direção e o mesmo comprimento. Portanto, essa afirmação é **verdadeira**.
Passo 3
Agora, a segunda afirmação:
**( ) Se , então .**
Essa afirmação está dizendo que se dois vetores têm a mesma magnitude, eles são iguais. Mas isso não é necessariamente verdade, porque dois vetores podem ter a mesma magnitude mas direções diferentes. Por exemplo, considere e . Ambos têm norma 1, mas . Portanto, essa afirmação é **falsa**.
Passo 4
Vamos para a terceira afirmação:
**( ) Se , então .**
Aqui, a afirmação diz que se dois vetores são paralelos, eles são iguais. Mas vetores paralelos podem ter direções iguais ou opostas e magnitudes diferentes. Por exemplo, e são paralelos, porém . Portanto, essa afirmação é **falsa**.
Passo 5
Agora, a quarta afirmação:
**( ) Se , então .**
Se dois vetores são iguais, eles têm a mesma direção, então são paralelos. Logo, essa afirmação é **verdadeira**.
Passo 6
A quinta afirmação é:
**( ) Se , então .**
Essa afirmação sugere que a magnitude da soma de dois vetores é igual à soma das magnitudes individuais. Isso só é verdade se os vetores estiverem na mesma direção. Em geral, através da desigualdade triangular, sabemos que . Por exemplo, se e , então , e . Portanto, essa afirmação é **falsa**.
Passo 7
Agora, a sexta afirmação:
** .**
Aqui, a norma de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao valor absoluto desse escalar vezes a norma do vetor. Então, e . Portanto, essa afirmação é **verdadeira**.
Passo 8
Por último, a sétima afirmação:
**( ) Seja , e , então ou .**
Se dois vetores são paralelos, um é um múltiplo escalar do outro. Dado que e , temos que . Portanto, ou . Essa afirmação é **verdadeira**.
Resposta
1. **Verdadeira.**
2. **Falsa.** Por exemplo, e .
3. **Falsa.** Por exemplo, e .
4. **Verdadeira.**
5. **Falsa.** Por exemplo, e , então .
6. **Verdadeira.**
7. **Verdadeira.**
Exercícios relacionados
Sejam e vetores no espaço, com .
(a) Determine o número , tal que seja ortogonal a .
(b) Mostre que .
Dados os vetores e . Determine:
b) A projeção do vetor ū na direção do vetor .
23. Calcule para que , sendo e na base ortonormal.
Sejam , .
Calcule: .