Considere a notação para indicar que dois vetores são paralelos, ou seja, que têm a mesma direção. Usando as definições e propriedades de vetores, determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, dê um exemplo onde isso ocorre. ( ) Se , então . ( ) Se , então . ( ) Se , então . , então . ( ) Se , então . . ( ) Seja e , então ou .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado do exercício. A gente está trabalhando com **vetores** e **paralelismo** entre eles, que é indicado pela notação . O objetivo é verificar se certas afirmações sobre vetores são verdadeiras ou falsas, utilizando definições e propriedades básicas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como **igualdade de vetores**, **magnitude (ou norma) dos vetores**, e **operações com vetores** como adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos analisar a primeira afirmação: **( ) Se , então .** Aqui, se dois vetores são iguais, então eles têm exatamente a mesma magnitude, porque possuem a mesma direção e o mesmo comprimento. Portanto, essa afirmação é **verdadeira**.

Passo 3

Agora, a segunda afirmação: **( ) Se , então .** Essa afirmação está dizendo que se dois vetores têm a mesma magnitude, eles são iguais. Mas isso não é necessariamente verdade, porque dois vetores podem ter a mesma magnitude mas direções diferentes. Por exemplo, considere e . Ambos têm norma 1, mas . Portanto, essa afirmação é **falsa**.

Passo 4

Vamos para a terceira afirmação: **( ) Se , então .** Aqui, a afirmação diz que se dois vetores são paralelos, eles são iguais. Mas vetores paralelos podem ter direções iguais ou opostas e magnitudes diferentes. Por exemplo, e são paralelos, porém . Portanto, essa afirmação é **falsa**.

Passo 5

Agora, a quarta afirmação: **( ) Se , então .** Se dois vetores são iguais, eles têm a mesma direção, então são paralelos. Logo, essa afirmação é **verdadeira**.

Passo 6

A quinta afirmação é: **( ) Se , então .** Essa afirmação sugere que a magnitude da soma de dois vetores é igual à soma das magnitudes individuais. Isso só é verdade se os vetores estiverem na mesma direção. Em geral, através da desigualdade triangular, sabemos que . Por exemplo, se e , então , e . Portanto, essa afirmação é **falsa**.

Passo 7

Agora, a sexta afirmação: **.** Aqui, a norma de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao valor absoluto desse escalar vezes a norma do vetor. Então, e . Portanto, essa afirmação é **verdadeira**.

Passo 8

Por último, a sétima afirmação: **( ) Seja , e , então ou .** Se dois vetores são paralelos, um é um múltiplo escalar do outro. Dado que e , temos que . Portanto, ou . Essa afirmação é **verdadeira**.

Resposta

1. **Verdadeira.** 2. **Falsa.** Por exemplo, e . 3. **Falsa.** Por exemplo, e . 4. **Verdadeira.** 5. **Falsa.** Por exemplo, e , então . 6. **Verdadeira.** 7. **Verdadeira.**

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