Sejam
e
vetores no espaço, com
.
(a) Determine o número
, tal que
seja ortogonal a
.
(b) Mostre que
.
(a) Determine o número
(b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! Temos dois vetores no espaço, U e V, sendo que V não é o vetor nulo. No item (a), precisamos encontrar um número α tal que o vetor U menos α vezes V seja perpendicular a V. No item (b), vamos mostrar que o produto vetorial de (U + V) com (U - V) é igual a duas vezes o produto vetorial de V com U. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Vamos começar com o item (a). Queremos que U - αV seja ortogonal a V. Lembra que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos que:
Passo 3
Agora, vamos expandir o produto escalar:
Aqui,
é o produto escalar de U e V, e
é o produto escalar de V consigo mesmo, que também é igual ao quadrado do comprimento de V.
Passo 4
Agora, vamos resolver para α:
Então, encontramos o valor de α que faz com que U - αV seja ortogonal a V.
Passo 5
Agora, vamos para o item (b). Queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial, especialmente a distributividade.
Passo 6
Vamos expandir o produto vetorial:
Passo 7
Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor consigo mesmo é o vetor nulo, ou seja,
e
. Então, a equação fica:
Passo 8
Outra propriedade importante do produto vetorial é que ele é anticomutativo, ou seja,
. Substituindo isso na equação:
Passo 9
Finalmente, podemos reescrever isso como:
Portanto, mostramos que
.
Resposta
(a) O número α é dado por
.
(b)
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
. Determine:
b) A projeção do vetor ū na direção do vetor .
b) A projeção do vetor ū na direção do vetor
Determine a área do triângulo cujos vértices são
e
.
Considere a notação
para indicar que dois vetores são paralelos, ou seja, que têm a mesma direção. Usando as definições e propriedades de vetores, determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, dê um exemplo onde isso ocorre.
( ) Se , então
.
( ) Se , então
.
( ) Se , então
.
, então
.
( ) Se , então
.
.
( ) Seja e
, então
ou
.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Seja
- Calcule
para que , sendo e na base ortonormal.