Sejam e vetores no espaço, com .
(a) Determine o número , tal que seja ortogonal a .
(b) Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! Temos dois vetores no espaço, U e V, sendo que V não é o vetor nulo. No item (a), precisamos encontrar um número α tal que o vetor U menos α vezes V seja perpendicular a V. No item (b), vamos mostrar que o produto vetorial de (U + V) com (U - V) é igual a duas vezes o produto vetorial de V com U. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Vamos começar com o item (a). Queremos que U - αV seja ortogonal a V. Lembra que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos que:

Passo 3

Agora, vamos expandir o produto escalar:
Aqui, é o produto escalar de U e V, e é o produto escalar de V consigo mesmo, que também é igual ao quadrado do comprimento de V.

Passo 4

Agora, vamos resolver para α:
Então, encontramos o valor de α que faz com que U - αV seja ortogonal a V.

Passo 5

Agora, vamos para o item (b). Queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial, especialmente a distributividade.

Passo 6

Vamos expandir o produto vetorial:

Passo 7

Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor consigo mesmo é o vetor nulo, ou seja, e . Então, a equação fica:

Passo 8

Outra propriedade importante do produto vetorial é que ele é anticomutativo, ou seja, . Substituindo isso na equação:

Passo 9

Finalmente, podemos reescrever isso como:
Portanto, mostramos que .

Resposta

(a) O número α é dado por .
(b) .

Exercícios relacionados

Dados os vetores e . Determine:
b) A projeção do vetor ū na direção do vetor .
Determine a área do triângulo cujos vértices são e .
Considere a notação para indicar que dois vetores são paralelos, ou seja, que têm a mesma direção. Usando as definições e propriedades de vetores, determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, dê um exemplo onde isso ocorre.
( ) Se , então .
( ) Se , então .
( ) Se , então .
, então .
( ) Se , então .
.
( ) Seja e , então ou .
  1. Calcule para que , sendo e na base ortonormal.