Sejam U e V vetores no espaço, com V neq 0.
(a) Determine o número alpha, tal que U-alpha V seja ortogonal a V.
(b) Mostre que (U+V) times(U-V)=2 V times U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! Temos dois vetores no espaço, U e V, sendo que V não é o vetor nulo. No item (a), precisamos encontrar um número α tal que o vetor U menos α vezes V seja perpendicular a V. No item (b), vamos mostrar que o produto vetorial de (U + V) com (U - V) é igual a duas vezes o produto vetorial de V com U. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Vamos começar com o item (a). Queremos que U - αV seja ortogonal a V. Lembra que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos que:
(U - alpha V) cdot V = 0

Passo 3

Agora, vamos expandir o produto escalar:
U cdot V - alpha V cdot V = 0
Aqui, é o produto escalar de U e V, e é o produto escalar de V consigo mesmo, que também é igual ao quadrado do comprimento de V.

Passo 4

Agora, vamos resolver para α:
alpha V cdot V = U cdot V
alpha = U cdot VV cdot V
Então, encontramos o valor de α que faz com que U - αV seja ortogonal a V.

Passo 5

Agora, vamos para o item (b). Queremos mostrar que:
(U + V) times (U - V) = 2 V times U
Para isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial, especialmente a distributividade.

Passo 6

Vamos expandir o produto vetorial:
(U + V) times (U - V) = U times U - U times V + V times U - V times V

Passo 7

Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor consigo mesmo é o vetor nulo, ou seja, 0 - U times V + V times U - 0 = -U times V + V times U e . Então, a equação fica:

Passo 8

Outra propriedade importante do produto vetorial é que ele é anticomutativo, ou seja, -U times V - U times V = -2 U times V . Substituindo isso na equação:

Passo 9

Finalmente, podemos reescrever isso como:
-2 U times V = 2 V times U
Portanto, mostramos que .

Resposta

(a) O número α é dado por .
(b) .

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