S gera E? (ou seja gera os polinômios de grau até 1?)
Qualquer polinômio de até grau 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de S?
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .
(cccc1 & 2 & -3 & a 3 & 3 & -3 & b -1 & -5 & 9 & c) sim(cccc1 & 2 & -3 & a 0 & -3 & 6 & b-3 a 0 & -3 & 6 & c+a) sim(cccc1 & 2 & -3 & a 0 & -3 & 6 & b-3 a 0 & 0 & 0 & c-b+4 a)
Ou seja, o sistema é impossível, exceto quanto c-b+4 a=0. S não gera E.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto de polinômios gera o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 1. Ou seja, queremos saber se qualquer polinômio da forma pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de . Para resolver isso, vamos precisar entender combinações lineares e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar coeficientes ax + b = c1(x^2 + 3x - 1) + c2(2x^2 + 3x - 5) + c3(-3x^2 - 3x + 9) , e tais que:
Passo 3
Vamos expandir essa expressão para igualar os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
Perceba que as duas últimas linhas são iguais, exceto pelo termo constante. Subtraímos a segunda linha da terceira para obter:
1 & 2 & -3 & | & 0 0 & -3 & 6 & | & a 0 & 0 & 0 & | & b - a
Passo 8
Observe que a última equação resultante é:
0c1 + 0c2 + 0c3 = b - a
Para que o sistema tenha solução, precisamos que , ou seja, .
Passo 9
Isso significa que só podemos escrever polinômios da forma como combinação linear dos elementos de . Portanto, não é possível gerar todo o espaço , já que nem todo polinômio de grau até 1 satisfaz .
Resposta
O conjunto não gera o espaço , pois somente polinômios onde podem ser escritos como combinação linear dos elementos de .