S=x^2+3 x-1,2 x^2+3 x-5,-3 x^2-3 x+9
S gera E? (ou seja gera os polinômios de grau até 1?)
Qualquer polinômio de até grau 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de S?
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico a x+b como combinação linear dos elementos de S.
& a x^2+b x+c=c1(x^2+3 x-1)+c2(2 x^2+3 x-5)+c3(-3 x^2-3 x+9) & l c1+2 c2-3 c3=a 3 c1+3 c2-3 c3=b -c1-5 c2+9 c3=c
(cccc1 & 2 & -3 & a 3 & 3 & -3 & b -1 & -5 & 9 & c) sim(cccc1 & 2 & -3 & a 0 & -3 & 6 & b-3 a 0 & -3 & 6 & c+a) sim(cccc1 & 2 & -3 & a 0 & -3 & 6 & b-3 a 0 & 0 & 0 & c-b+4 a)
Ou seja, o sistema é impossível, exceto quanto c-b+4 a=0. S não gera E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto de polinômios gera o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 1. Ou seja, queremos saber se qualquer polinômio da forma pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de . Para resolver isso, vamos precisar entender combinações lineares e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar coeficientes ax + b = c1(x^2 + 3x - 1) + c2(2x^2 + 3x - 5) + c3(-3x^2 - 3x + 9) , e tais que:

Passo 3

Vamos expandir essa expressão para igualar os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
ax + b = (c1 + 2c2 - 3c3)x^2 + (3c1 + 3c2 - 3c3)x + (-c1 - 5c2 + 9c3)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
c1 + 2c2 - 3c3 = 0 (Coeficiente de x^2) 3c1 + 3c2 - 3c3 = a (Coeficiente de x) -c1 - 5c2 + 9c3 = b (Termo constante)

Passo 5

Vamos organizar esse sistema em forma de matriz aumentada:
1 & 2 & -3 & | & 0 3 & 3 & -3 & | & a -1 & -5 & 9 & | & b

Passo 6

Aplicamos operações de linha para simplificar a matriz. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda e adicionamos a primeira linha à terceira:
1 & 2 & -3 & | & 0 0 & -3 & 6 & | & a 0 & -3 & 6 & | & b

Passo 7

Perceba que as duas últimas linhas são iguais, exceto pelo termo constante. Subtraímos a segunda linha da terceira para obter:
1 & 2 & -3 & | & 0 0 & -3 & 6 & | & a 0 & 0 & 0 & | & b - a

Passo 8

Observe que a última equação resultante é:
0c1 + 0c2 + 0c3 = b - a
Para que o sistema tenha solução, precisamos que , ou seja, .

Passo 9

Isso significa que só podemos escrever polinômios da forma como combinação linear dos elementos de . Portanto, não é possível gerar todo o espaço , já que nem todo polinômio de grau até 1 satisfaz .

Resposta

O conjunto não gera o espaço , pois somente polinômios onde podem ser escritos como combinação linear dos elementos de .

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