Estamos acostumados a usar as bases canônicas (podemos dizer que são as bases padrão). Mas, há problemas mais facilmente tratados em outras bases.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre bases canônicas, que são as bases padrão que costumamos usar nos vetores e espaços vetoriais. Mas, às vezes, certos problemas ficam mais simples quando usamos outras bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases, como mudar de uma base canônica para outra e por que isso pode facilitar a resolução de alguns problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base. As bases canônicas são aquelas onde cada vetor tem apenas um 1 em uma posição e 0 nas outras, tipo (1,0,0), (0,1,0), etc.

Passo 3

Agora, por que usar outras bases pode ajudar? Bem, dependendo do problema, certas bases simplificam cálculos ou deixam a estrutura do problema mais clara. Por exemplo, em problemas de geometria, usar uma base alinhada com os eixos principais pode facilitar os cálculos. Em transformações lineares, às vezes uma base diferente faz com que a matriz da transformação seja mais fácil de trabalhar, como uma matriz diagonal ou triangular.

Passo 4

Vamos ver como mudar de uma base canônica para outra base. Suponha que temos uma base B com vetores e . Para mudar a base de canônica para B, precisamos encontrar as coordenadas dos vetores canônicos em termos de B. Isso geralmente envolve resolver sistemas de equações ou usar matrizes de mudança de base.

Passo 5

Uma vez que temos a matriz de mudança de base, podemos usá-la para transformar vetores e matrizes de uma base para outra. Isso é útil porque, na nova base, certas operações podem se tornar mais simples. Por exemplo, uma matriz de transformação que antes era complicada na base canônica pode se tornar diagonal na nova base, o que facilita muito os cálculos.

Resposta

Então, ao usar uma base diferente da canônica, conseguimos simplificar problemas específicos, tornando os cálculos mais fáceis e a estrutura do problema mais clara. Isso é especialmente útil em álgebra linear e transformações lineares, onde a escolha da base pode transformar matrizes complexas em formas mais manejáveis.

Exercícios relacionados

S gera E? (ou seja, gera as matrizes ? Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S?)
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .
Assim, devemos verificar se para quaisquer valores e , a equação acima tem solução. Ou seja, o sistema linear abaixo tem solução?
Pelo Método de Eliminação de Gauss, temos
Ou seja, como o último valor da matriz é diferente de zero, independentemente dos valores e , esse sistema tem sempre solução.
. Depois de encontrar bastaria fazermos as devidas substituições nas outras equações.
Assim, S gera E.
Fazendo:

Assim, o conjunto é (para que os elementos se anulem, todos os números e têm que ser iguais a zero!
S gera E? (ou seja gera os polinômios de grau até 1?)
Qualquer polinômio de até grau 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de S?
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .

Ou seja, o sistema é impossível, exceto quanto . S não gera .
Definição: Os elementos , de um espaço vetorial formam uma base para E se:
a) geram
b) são LI