S gera E? (ou seja, gera as matrizes ? Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S?)
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .
Assim, devemos verificar se para quaisquer valores e , a equação acima tem solução. Ou seja, o sistema linear abaixo tem solução?
Ou seja, como o último valor da matriz é diferente de zero, independentemente dos valores a, b, c e d, esse sistema tem sempre solução. 2 c4=d-a+b c4=(d-a+b) / 2. Depois de encontrar c4 bastaria fazermos as devidas substituições nas outras equações.
Assim, S gera E.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de quatro matrizes 2x2, que a gente chama de S. A pergunta é: será que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação dessas quatro matrizes de S? Basicamente, queremos saber se S “gera” o espaço de todas as matrizes 2x2, que a gente chama de E. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “gerar” um espaço. Se S gera E, quero dizer que qualquer matriz 2x2 pode ser construída somando múltiplos das matrizes em S. Matemáticamente, isso significa que para qualquer matriz genérica:
a & b c & d
a gente consegue encontrar escalares a & b c & d = c1 1 & 0 -1 & 1 + c2 1 & 1 1 & 0 + c3 1 & 0 2 & 1 + c4 0 & 1 1 & 1 tais que:
Passo 3
Agora, vamos quebrar isso em partes mais simples. Quando somamos essas matrizes multiplicadas pelos escalares c1 + c2 + c3 = a c2 + c4 = b - c1 + c2 + 2c3 + c4 = c c1 + c3 + c4 = d , cada posição da matriz resultante vai ser a soma dos respectivos produtos. Então, temos:
Entrada (1,1):
Entrada (1,2):
Entrada (2,1):
Entrada (2,2):
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Para resolver esse sistema, vamos usar o Método de Eliminação de Gauss. Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma que facilite encontrar os valores de .
Passo 5
Vamos seguir eliminando os termos abaixo da diagonal principal:
Linha 3: Adicionamos a Linha 1 para eliminar o -1 na primeira posição: Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 Rightarrow (0, 2, 3, 1 | c + a)
Linha 4: Subtraímos a Linha 1 para eliminar o 1 na primeira posição: Linha 4 = Linha 4 - Linha 1 Rightarrow (0, -1, 0, 1 | d - a)
Agora, a matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & 0 & | & a 0 & 1 & 0 & 1 & | & b 0 & 2 & 3 & 1 & | & c + a 0 & -1 & 0 & 1 & | & d - a
Passo 6
Continuando a eliminação, queremos zerar os elementos abaixo do segundo pivô (que está na posição (2,2)):
Linha 3: Subtraímos 2 vezes a Linha 2 para eliminar o 2 na segunda posição: Linha 3 = Linha 3 - 2 cdot Linha 2 Rightarrow (0, 0, 3, -1 | c + a - 2b)
Linha 4: Adicionamos a Linha 2 para eliminar o -1 na segunda posição: Linha 4 = Linha 4 + Linha 2 Rightarrow (0, 0, 0, 2 | d - a + b)
Agora, a matriz está na forma:
1 & 1 & 1 & 0 & | & a 0 & 1 & 0 & 1 & | & b 0 & 0 & 3 & -1 & | & c + a - 2b 0 & 0 & 0 & 2 & | & d - a + b
Passo 7
Agora, podemos resolver o sistema de baixo para cima:
Linha 4: 3c3 - (d - a + b2) = c + a - 2b 3c3 = c + a - 2b + d - a + b2 3c3 = 2c + 2a - 4b + d - a + b2 3c3 = c + a - 3b + d2 c3 = c + a - 3b + d6
Então, c2 + d - a + b2 = b c2 = b - d - a + b2 c2 = 2b - d + a - b2 c2 = a + b - d2
Linha 3: c1 + a + b - d2 + c + a - 3b + d6 = a c1 = a - a + b - d2 - c + a - 3b + d6 c1 = 6a - 3(a + b - d) - (c + a - 3b + d)6 c1 = 6a - 3a - 3b + 3d - c - a + 3b - d6 c1 = 2a + 2d - c6 c1 = 2a + 2d - c6
Substituindo :
Linha 2:
Substituindo :
Linha 1:
Substituindo e :
Passo 8
Como conseguimos encontrar valores para em termos de , isso significa que para qualquer matriz 2x2, dá para escrever ela como uma combinação linear das matrizes de S. Não importa quais sejam os valores de , sempre vamos conseguir resolver o sistema e encontrar os escalares necessários.
Resposta
Sim, o conjunto S gera o espaço das matrizes 2x2 E. Qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S.