S gera E? (ou seja, gera as matrizes ? Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S?)
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .
Assim, devemos verificar se para quaisquer valores e , a equação acima tem solução. Ou seja, o sistema linear abaixo tem solução?
Pelo Método de Eliminação de Gauss, temos
Ou seja, como o último valor da matriz é diferente de zero, independentemente dos valores e , esse sistema tem sempre solução.
. Depois de encontrar bastaria fazermos as devidas substituições nas outras equações.
Assim, S gera E.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de quatro matrizes 2x2, que a gente chama de S. A pergunta é: será que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação dessas quatro matrizes de S? Basicamente, queremos saber se S “gera” o espaço de todas as matrizes 2x2, que a gente chama de E. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “gerar” um espaço. Se S gera E, quero dizer que qualquer matriz 2x2 pode ser construída somando múltiplos das matrizes em S. Matemáticamente, isso significa que para qualquer matriz genérica:
a gente consegue encontrar escalares tais que:

Passo 3

Agora, vamos quebrar isso em partes mais simples. Quando somamos essas matrizes multiplicadas pelos escalares , cada posição da matriz resultante vai ser a soma dos respectivos produtos. Então, temos:
  1. Entrada (1,1):
  2. Entrada (1,2):
  3. Entrada (2,1):
  4. Entrada (2,2):
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Para resolver esse sistema, vamos usar o Método de Eliminação de Gauss. Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma que facilite encontrar os valores de .

Passo 5

Vamos seguir eliminando os termos abaixo da diagonal principal:
  1. Linha 3: Adicionamos a Linha 1 para eliminar o -1 na primeira posição:
  2. Linha 4: Subtraímos a Linha 1 para eliminar o 1 na primeira posição:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 6

Continuando a eliminação, queremos zerar os elementos abaixo do segundo pivô (que está na posição (2,2)):
  1. Linha 3: Subtraímos 2 vezes a Linha 2 para eliminar o 2 na segunda posição:
  2. Linha 4: Adicionamos a Linha 2 para eliminar o -1 na segunda posição:
Agora, a matriz está na forma:

Passo 7

Agora, podemos resolver o sistema de baixo para cima:
  1. Linha 4:
    Então,
  2. Linha 3:
    Substituindo :
  3. Linha 2:
    Substituindo :
  4. Linha 1:
    Substituindo e :

Passo 8

Como conseguimos encontrar valores para em termos de , isso significa que para qualquer matriz 2x2, dá para escrever ela como uma combinação linear das matrizes de S. Não importa quais sejam os valores de , sempre vamos conseguir resolver o sistema e encontrar os escalares necessários.

Resposta

Sim, o conjunto S gera o espaço das matrizes 2x2 E. Qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S.

Exercícios relacionados

Fazendo:

Assim, o conjunto é (para que os elementos se anulem, todos os números e têm que ser iguais a zero!
Fazendo:

Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números , não simultaneamente iguais a zero, que combinam os elementos de forma que eles se anulam.
Estamos acostumados a usar as bases canônicas (podemos dizer que são as bases padrão). Mas, há problemas mais facilmente tratados em outras bases.
S gera E? (ou seja gera os polinômios de grau até 1?)
Qualquer polinômio de até grau 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de S?
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .

Ou seja, o sistema é impossível, exceto quanto . S não gera .