S gera E? (ou seja, gera as matrizes ? Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S?)
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .
Assim, devemos verificar se para quaisquer valores e , a equação acima tem solução. Ou seja, o sistema linear abaixo tem solução?
Pelo Método de Eliminação de Gauss, temos
Ou seja, como o último valor da matriz é diferente de zero, independentemente dos valores e , esse sistema tem sempre solução. . Depois de encontrar bastaria fazermos as devidas substituições nas outras equações.
Assim, S gera E.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de quatro matrizes 2x2, que a gente chama de S. A pergunta é: será que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação dessas quatro matrizes de S? Basicamente, queremos saber se S “gera” o espaço de todas as matrizes 2x2, que a gente chama de E. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “gerar” um espaço. Se S gera E, quero dizer que qualquer matriz 2x2 pode ser construída somando múltiplos das matrizes em S. Matemáticamente, isso significa que para qualquer matriz genérica:
a gente consegue encontrar escalares tais que:
Passo 3
Agora, vamos quebrar isso em partes mais simples. Quando somamos essas matrizes multiplicadas pelos escalares , cada posição da matriz resultante vai ser a soma dos respectivos produtos. Então, temos:
Entrada (1,1):
Entrada (1,2):
Entrada (2,1):
Entrada (2,2):
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Para resolver esse sistema, vamos usar o Método de Eliminação de Gauss. Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma que facilite encontrar os valores de .
Passo 5
Vamos seguir eliminando os termos abaixo da diagonal principal:
Linha 3: Adicionamos a Linha 1 para eliminar o -1 na primeira posição:
Linha 4: Subtraímos a Linha 1 para eliminar o 1 na primeira posição:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 6
Continuando a eliminação, queremos zerar os elementos abaixo do segundo pivô (que está na posição (2,2)):
Linha 3: Subtraímos 2 vezes a Linha 2 para eliminar o 2 na segunda posição:
Linha 4: Adicionamos a Linha 2 para eliminar o -1 na segunda posição:
Agora, a matriz está na forma:
Passo 7
Agora, podemos resolver o sistema de baixo para cima:
Linha 4:
Então,
Linha 3:
Substituindo :
Linha 2:
Substituindo :
Linha 1:
Substituindo e :
Passo 8
Como conseguimos encontrar valores para em termos de , isso significa que para qualquer matriz 2x2, dá para escrever ela como uma combinação linear das matrizes de S. Não importa quais sejam os valores de , sempre vamos conseguir resolver o sistema e encontrar os escalares necessários.
Resposta
Sim, o conjunto S gera o espaço das matrizes 2x2 E. Qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S.