23 integral0^=2 integral0^2 cos theta phi cos theta d phi d theta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma integral dupla:
23 integral0^2 integral0^2 cos theta phi cos theta , dphi , dtheta
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente Integrais Duplas.
O que vamos precisar: Entender como resolver integrais duplas, fazer integrações passo a passo e aplicar propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, ou seja, a parte que está em relação a integral0^2 cos theta phi cos theta , dphi :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar integral phi cos theta , dphi = cos theta integral phi , dphi = cos theta ( phi^22 ) + C em relação a cos theta ( (2 cos theta)^22 - 0^22 ) = cos theta ( 4 cos^2 theta2 ) = cos theta cdot 2 cos^2 theta = 2 cos^3 theta :
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
23 integral0^2 2 cos^3 theta , dtheta = 46 integral0^2 cos^3 theta , dtheta
Vamos focar em resolver .

Passo 5

Para integrar cos^3 theta = cos theta (1 - sin^2 theta) , usamos uma identidade trigonométrica e uma substituição simples. Reescrevemos integral cos theta (1 - sin^2 theta) , dtheta da seguinte forma:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C = sin theta - sin^3 theta3 + C
Agora, a integral fica:
Fazemos a substituição , então :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de 0 a 2 na antiderivada:
[ sin theta - sin^3 theta3 ]0^2 = ( sin 2 - sin^3 23 ) - ( sin 0 - sin^3 03 )
Sabemos que sin 2 - sin^3 23 , então isso simplifica para:
sin 2 approx 0.9093 sin^3 2 approx (0.9093)^3 approx 0.7522
Calculando numericamente:
0.9093 - 0.75223 approx 0.9093 - 0.2507 approx 0.6586
Então:

Passo 7

Voltando à integral externa:
46 times 0.6586 approx 30.2936

Resposta

A integral dupla avaliada é aproximadamente 30.29.

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