Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma integral dupla:
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente Integrais Duplas.
O que vamos precisar: Entender como resolver integrais duplas, fazer integrações passo a passo e aplicar propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, ou seja, a parte que está em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos focar em resolver
.
Passo 5
Para integrar
, usamos uma identidade trigonométrica e uma substituição simples. Reescrevemos
da seguinte forma:
Agora, a integral fica:
Fazemos a substituição
, então
:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de 0 a 2 na antiderivada:
Sabemos que
, então isso simplifica para:
Calculando numericamente:
Então:
Passo 7
Voltando à integral externa:
Resposta
A integral dupla avaliada é aproximadamente 30.29.
Exercícios relacionados
O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é
e a velocidade do vento é v
. Portanto, podemos escrever
. A função que modela o índice é tal que
Quando
, quanto você espera que a temperatura aparente caia se a temperatura real decrescer em
.
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
g) r=2 c_{1} \cos \theta
g) r=2 c_{1} \cos \theta