Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma integral dupla:
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente Integrais Duplas.
O que vamos precisar: Entender como resolver integrais duplas, fazer integrações passo a passo e aplicar propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, ou seja, a parte que está em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar em relação a :
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos focar em resolver .

Passo 5

Para integrar , usamos uma identidade trigonométrica e uma substituição simples. Reescrevemos da seguinte forma:
Agora, a integral fica:
Fazemos a substituição , então :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de 0 a 2 na antiderivada:
Sabemos que , então isso simplifica para:
Calculando numericamente:
Então:

Passo 7

Voltando à integral externa:

Resposta

A integral dupla avaliada é aproximadamente 30.29.

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