Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
g) r=2 c_{1} \cos \theta

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por . Basicamente, queremos descobrir quais curvas cruzam essas curvas originais formando um ângulo de 90 graus. Para isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares e derivadas para determinar as inclinações das curvas e das trajetórias ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos: . Essa é uma equação em coordenadas polares, onde é a distância do ponto ao centro e é o ângulo. O é uma constante que pode variar, representando diferentes curvas dessa família.

Passo 3

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos determinar a inclinação da tangente das curvas originais e então encontrar a inclinação das curvas que serão perpendiculares a elas. Em coordenadas polares, a inclinação da tangente de uma curva é dada pela derivada .

Passo 4

Vamos calcular para a nossa família de curvas:
Isso nos dá a taxa de variação de em relação a para as curvas originais.

Passo 5

A inclinação da tangente em coordenadas polares é dada por:
Substituindo e :

Passo 6

As trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas reciprocais das inclinações das curvas originais. Ou seja:
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar as trajetórias ortogonais. Em coordenadas polares, isso significa encontrar em função de que satisfaça a equação da inclinação das trajetórias ortogonais.

Passo 8

Integramos a equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Portanto, as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por são expressas por:

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas são dadas por , onde é uma constante.

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