Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
g) r=2 c_{1} \cos \theta
g) r=2 c_{1} \cos \theta
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. Basicamente, queremos descobrir quais curvas cruzam essas curvas originais formando um ângulo de 90 graus. Para isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares e derivadas para determinar as inclinações das curvas e das trajetórias ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos:
. Essa é uma equação em coordenadas polares, onde
é a distância do ponto ao centro e
é o ângulo. O
é uma constante que pode variar, representando diferentes curvas dessa família.
Passo 3
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos determinar a inclinação da tangente das curvas originais e então encontrar a inclinação das curvas que serão perpendiculares a elas. Em coordenadas polares, a inclinação da tangente de uma curva
é dada pela derivada
.
Passo 4
Vamos calcular
para a nossa família de curvas:
Isso nos dá a taxa de variação de
em relação a
para as curvas originais.
Passo 5
A inclinação da tangente em coordenadas polares é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 6
As trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas reciprocais das inclinações das curvas originais. Ou seja:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar as trajetórias ortogonais. Em coordenadas polares, isso significa encontrar
em função de
que satisfaça a equação da inclinação das trajetórias ortogonais.
Passo 8
Integramos a equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Portanto, as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
são expressas por:
Resposta
As trajetórias ortogonais da família de curvas
são dadas por
, onde
é uma constante.
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Resolva as EDO22)
Resolva as EDO25) $(2ysenx
O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é
e a velocidade do vento é v
. Portanto, podemos escrever
. A função que modela o índice é tal que
Quando
, quanto você espera que a temperatura aparente caia se a temperatura real decrescer em
.