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(a) Seja
. Encontre
, onde
e
são subespaços de
. Calcule a dimensão de
.
(a) Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
e dois subespaços
e
. O exercício pede para encontrar a soma desses subespaços,
, e também calcular a dimensão da interseção deles,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre soma e interseção de subespaços, além de entender como calcular suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. A soma de dois subespaços,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
com um vetor de
. Ou seja:
Sabemos que:
Então, qualquer vetor em
será:
Como
,
,
e
podem ser quaisquer números reais, podemos simplificar isso para:
Então, a soma dos subespaços
e
é todo o espaço
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a dimensão da interseção
. A interseção de dois subespaços,
, é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços simultaneamente.
Para encontrar
, devemos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:
Daqui, vemos que
e
, mas
pode ser qualquer número real. Portanto, a interseção é:
Esse conjunto representa uma linha ao longo do eixo
em
. Como é uma linha, a dimensão desse subespaço é 1.
Resposta
A dimensão de
é
.