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(a) Seja V=R^3. Encontre U+W, onde U=(a, b, 0): a, b in R e W=(0, b, c): b, c in R são subespaços de V. Calcule a dimensão de U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V = R^3 e dois subespaços U e W. O exercício pede para encontrar a soma desses subespaços, U + W, e também calcular a dimensão da interseção deles, U cap W. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre soma e interseção de subespaços, além de entender como calcular suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar U + W. A soma de dois subespaços, U + W, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U com um vetor de W. Ou seja:
U + W = u + w mid u in U, w in W
Sabemos que:
U = (a, b, 0) mid a, b in R
W = (0, b, c) mid b, c in R
Então, qualquer vetor em U + W será:
(a, b, 0) + (0, b', c) = (a + 0, b + b', 0 + c) = (a, b + b', c)
Como a, b, b' e c podem ser quaisquer números reais, podemos simplificar isso para:
U + W = (a, d, c) mid a, d, c in R = R^3
Então, a soma dos subespaços U e W é todo o espaço R^3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a dimensão da interseção U cap W. A interseção de dois subespaços, U cap W, é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços simultaneamente.
Para encontrar U cap W, devemos resolver:
(a, b, 0) = (0, b', c)
Isso nos dá o sistema de equações:
a = 0
b = b'
0 = c
Daqui, vemos que a = 0 e c = 0, mas b pode ser qualquer número real. Portanto, a interseção é:
U cap W = (0, b, 0) mid b in R
Esse conjunto representa uma linha ao longo do eixo y em R^3. Como é uma linha, a dimensão desse subespaço é 1.

Resposta

A dimensão de U cap W é 1.

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