Verifique as seguintes propriedades em um espaço vetorial (V, oplus, odot) :
© alpha odot(u-v)=alpha odot u-alpha odot v, quaisquer que sejam alpha in K, u, v in V.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a propriedade alpha odot(u - v) = alpha odot u - alpha odot v é válida em um espaço vetorial (V, oplus, odot). Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades das operações em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos utilizar as definições de operações de adição e subtração de vetores, assim como as propriedades da multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa u - v. Em um espaço vetorial, a subtração de vetores u e v é definida como u + (-v), onde -v é o vetor oposto de v. Portanto, podemos reescrever a expressão original como:
alpha odot (u - v) = alpha odot (u + (-v))

Passo 3

Sabemos que a multiplicação escalar distribui sobre a adição de vetores. Isso significa que:
alpha odot (u + w) = alpha odot u + alpha odot w
onde w é qualquer vetor em V. No nosso caso, w = -v, então aplicando a propriedade temos:
alpha odot (u + (-v)) = alpha odot u + alpha odot (-v)

Passo 4

Agora, precisamos entender o que é alpha odot (-v). A propriedade da multiplicação escalar também nos diz que:
alpha odot (-v) = -(alpha odot v)
Isso porque multiplicar um vetor pelo escalar alpha e depois pelo negativo é o mesmo que multiplicar o vetor original por alpha e depois tirar o oposto.

Passo 5

Substituindo alpha odot (-v) na expressão anterior, temos:
alpha odot u + alpha odot (-v) = alpha odot u - alpha odot v
Portanto, chegamos à conclusão de que:
alpha odot (u - v) = alpha odot u - alpha odot v

Resposta

A propriedade alpha odot(u - v) = alpha odot u - alpha odot v é válida no espaço vetorial (V, oplus, odot).

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