Verifique as seguintes propriedades em um espaço vetorial
:
©
, quaisquer que sejam
.
©
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a propriedade
é válida em um espaço vetorial
. Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades das operações em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos utilizar as definições de operações de adição e subtração de vetores, assim como as propriedades da multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Em um espaço vetorial, a subtração de vetores
e
é definida como
, onde
é o vetor oposto de
. Portanto, podemos reescrever a expressão original como:
Passo 3
Sabemos que a multiplicação escalar distribui sobre a adição de vetores. Isso significa que:
onde
é qualquer vetor em
. No nosso caso,
, então aplicando a propriedade temos:
Passo 4
Agora, precisamos entender o que é
. A propriedade da multiplicação escalar também nos diz que:
Isso porque multiplicar um vetor pelo escalar
e depois pelo negativo é o mesmo que multiplicar o vetor original por
e depois tirar o oposto.
Passo 5
Substituindo
na expressão anterior, temos:
Portanto, chegamos à conclusão de que:
Resposta
A propriedade
é válida no espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Se os vetores
são L.I., o mesmo se dá com os vetores
. Vale a recíproca?
Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(d) é um espaço vetorial complexo?
(d)
Sejam
. Escreva equações paramétricas da reta intersecção dos planos: