Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o conjunto
e precisamos verificar se ele é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a conferir se um conjunto é realmente um subespaço. Precisamos checar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se ele é fechado para adição de vetores e se é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Para que ele esteja em
, deve existir valores de
e
que satisfaçam a equação
.
Resolvendo:
Então, com
e
, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
dois vetores em
. A soma deles é:
Observamos que isso está na forma
, onde
e
, que são números reais. Portanto, a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor qualquer em
e o multiplicarmos por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
.
Pegamos o vetor
e multiplicamos por
:
Isso está na forma
, onde
e
, que são números reais. Então, o vetor resultante também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechada para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e então calcule sua dimensão.
(a) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.
(a) vetores de
Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto
do espaço vetorial
é L.I. ou L.D.
(b) .
(b)
Se os vetores
são L.I., o mesmo se dá com os vetores
. Vale a recíproca?