Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^3: W=(4 x, y, y-x) ; x, y in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o conjunto e precisamos verificar se ele é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a conferir se um conjunto é realmente um subespaço. Precisamos checar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se ele é fechado para adição de vetores e se é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em 4x = 0 Rightarrow x = 0 . O vetor zero em y = 0 é y - x = 0 - 0 = 0 . Para que ele esteja em , deve existir valores de e que satisfaçam a equação .
Resolvendo:
Então, com e , o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se (4x1 + 4x2, y1 + y2, (y1 - x1) + (y2 - x2)) = (4(x1 + x2), y1 + y2, (y1 + y2) - (x1 + x2)) é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e dois vetores em . A soma deles é:
Observamos que isso está na forma , onde e , que são números reais. Portanto, a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se k cdot (4x, y, y - x) = (4kx, ky, ky - kx) = (4(kx), ky, ky - kx) é fechado para multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor qualquer em e o multiplicarmos por qualquer número real , o resultado também deve estar em .
Pegamos o vetor e multiplicamos por :
Isso está na forma , onde e , que são números reais. Então, o vetor resultante também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechada para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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