Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o conjunto e precisamos verificar se ele é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a conferir se um conjunto é realmente um subespaço. Precisamos checar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se ele é fechado para adição de vetores e se é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Para que ele esteja em , deve existir valores de e que satisfaçam a equação .
Resolvendo:
Então, com e , o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e dois vetores em . A soma deles é:
Observamos que isso está na forma , onde e , que são números reais. Portanto, a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado para multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor qualquer em e o multiplicarmos por qualquer número real , o resultado também deve estar em .
Pegamos o vetor e multiplicamos por :
Isso está na forma , onde e , que são números reais. Então, o vetor resultante também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechada para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e então calcule sua dimensão.
(a) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.
Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto do espaço vetorial é L.I. ou L.D.
(b) .
Se os vetores são L.I., o mesmo se dá com os vetores . Vale a recíproca?