Se os vetores
são L.I., o mesmo se dá com os vetores
. Vale a recíproca?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um conjunto de vetores
que são linearmente independentes (LI). A questão diz que se transformarmos esses vetores para
, eles também serão LI. Agora, queremos saber se o contrário também vale: ou seja, se
serem LI implica que
também são LI. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, não dá para escrever nenhum vetor do conjunto como uma combinação dos outros.
Passo 3
Assumindo que
são LI, queremos mostrar se isso implica que
também são LI. Para fazer isso, vamos tentar expressar
em termos de
.
Passo 4
Observe que podemos reescrever
,
, e assim por diante até
. Isso mostra que cada
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 5
Agora, suponha que existe uma combinação linear de
que resulta no vetor zero:
Substituindo
por
, temos:
Passo 6
Agrupando os termos com
e os
, obtemos:
Como
são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
E substituindo na primeira equação:
Resposta
Portanto, se
são linearmente independentes, então
também são linearmente independentes. A recíproca é verdadeira.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Verifique as seguintes propriedades em um espaço vetorial
:
© , quaisquer que sejam
.
©
Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(d) é um espaço vetorial complexo?
(d)