Se os vetores v1, ldots, vm são L.I., o mesmo se dá com os vetores v1, v2-v1, ldots, vm-v1. Vale a recíproca?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes (LI). A questão diz que se transformarmos esses vetores para , eles também serão LI. Agora, queremos saber se o contrário também vale: ou seja, se serem LI implica que também são LI. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, não dá para escrever nenhum vetor do conjunto como uma combinação dos outros.

Passo 3

Assumindo que são LI, queremos mostrar se isso implica que também são LI. Para fazer isso, vamos tentar expressar em termos de .

Passo 4

Observe que podemos reescrever , , e assim por diante até . Isso mostra que cada pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 5

Agora, suponha que existe uma combinação linear de a1 v1 + a2 v2 + ldots + am vm = 0 que resulta no vetor zero:
a1 v1 + a2 (v2 - v1) + ldots + am (vm - v1) + (a2 + ldots + am) v1 = 0
Substituindo por , temos:

Passo 6

Agrupando os termos com (a1 - a2 - ldots - am) v1 + a2 (v2 - v1) + ldots + am (vm - v1) = 0 e os a2 = 0, a3 = 0, ldots, am = 0 , obtemos:
a1 = 0
Como são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
E substituindo na primeira equação:

Resposta

Portanto, se são linearmente independentes, então também são linearmente independentes. A recíproca é verdadeira.

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