Se os vetores são L.I., o mesmo se dá com os vetores . Vale a recíproca?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes (LI). A questão diz que se transformarmos esses vetores para , eles também serão LI. Agora, queremos saber se o contrário também vale: ou seja, se serem LI implica que também são LI. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, não dá para escrever nenhum vetor do conjunto como uma combinação dos outros.

Passo 3

Assumindo que são LI, queremos mostrar se isso implica que também são LI. Para fazer isso, vamos tentar expressar em termos de .

Passo 4

Observe que podemos reescrever , , e assim por diante até . Isso mostra que cada pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 5

Agora, suponha que existe uma combinação linear de que resulta no vetor zero:
Substituindo por , temos:

Passo 6

Agrupando os termos com e os , obtemos:
Como são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
E substituindo na primeira equação:

Resposta

Portanto, se são linearmente independentes, então também são linearmente independentes. A recíproca é verdadeira.

Exercícios relacionados

Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :
Verifique as seguintes propriedades em um espaço vetorial :
© , quaisquer que sejam .
Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(d) é um espaço vetorial complexo?