Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e então calcule sua dimensão.
(a) vetores de
nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.
(a) vetores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para um espaço vetorial específico e depois calcular a sua dimensão. O conteúdo envolve espaços vetoriais, bases e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender como essas coordenadas estão relacionadas e como isso afeta a formação da base.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o espaço vetorial descrito: estamos lidando com vetores em
onde
. A condição dada é que a segunda, quarta e sexta coordenadas desses vetores são iguais. Ou seja, se um vetor é
, então precisamos que
.
Passo 3
Para facilitar, vamos expressar a condição de igualdade das coordenadas de forma matemática:
Isso significa que, ao invés de termos três variáveis independentes (segunda, quarta e sexta coordenadas), elas são todas iguais a uma única variável, digamos,
. Assim, podemos reescrever o vetor da seguinte maneira:
Aqui,
representa o valor comum às coordenadas segunda, quarta e sexta.
Passo 4
Agora, vamos identificar as variáveis livres. As coordenadas que podem assumir qualquer valor são:
e
. Contudo, como
está relacionado às coordenadas
e
, na verdade temos
variáveis independentes (já que
substitui duas coordenadas).
Passo 5
Com isso em mente, podemos construir uma base para esse espaço vetorial. Cada vetor da base terá um 1 em uma das posições das variáveis independentes e 0 nas demais, respeitando a condição de igualdade das coordenadas segunda, quarta e sexta. Por exemplo:
- Vetor com 1 em
: - Vetor com 1 em
: - Vetor com 1 em
: - …
- Vetor com 1 em
: - Vetor representando
:
Esses vetores formam uma base porque são linearmente independentes e qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Resposta
A base do espaço é formada pelos vetores que têm 1 em uma das coordenadas independentes (exceto a segunda, quarta e sexta) e pelo vetor
. Portanto, a dimensão desse espaço vetorial é
.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto
do espaço vetorial
é L.I. ou L.D.
(b) .
(b)
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
: