Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e então calcule sua dimensão.
(a) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para um espaço vetorial específico e depois calcular a sua dimensão. O conteúdo envolve espaços vetoriais, bases e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender como essas coordenadas estão relacionadas e como isso afeta a formação da base.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o espaço vetorial descrito: estamos lidando com vetores em onde . A condição dada é que a segunda, quarta e sexta coordenadas desses vetores são iguais. Ou seja, se um vetor é , então precisamos que .

Passo 3

Para facilitar, vamos expressar a condição de igualdade das coordenadas de forma matemática:
Isso significa que, ao invés de termos três variáveis independentes (segunda, quarta e sexta coordenadas), elas são todas iguais a uma única variável, digamos, . Assim, podemos reescrever o vetor da seguinte maneira:
Aqui, representa o valor comum às coordenadas segunda, quarta e sexta.

Passo 4

Agora, vamos identificar as variáveis livres. As coordenadas que podem assumir qualquer valor são: e . Contudo, como está relacionado às coordenadas e , na verdade temos variáveis independentes (já que substitui duas coordenadas).

Passo 5

Com isso em mente, podemos construir uma base para esse espaço vetorial. Cada vetor da base terá um 1 em uma das posições das variáveis independentes e 0 nas demais, respeitando a condição de igualdade das coordenadas segunda, quarta e sexta. Por exemplo:
  • Vetor com 1 em :
  • Vetor com 1 em :
  • Vetor com 1 em :
  • Vetor com 1 em :
  • Vetor representando :
Esses vetores formam uma base porque são linearmente independentes e qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Resposta

A base do espaço é formada pelos vetores que têm 1 em uma das coordenadas independentes (exceto a segunda, quarta e sexta) e pelo vetor . Portanto, a dimensão desse espaço vetorial é .

Exercícios relacionados

Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto do espaço vetorial é L.I. ou L.D.
(b) .
Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :
Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :