Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e então calcule sua dimensão.
(a) vetores de R^n(n >= 6) nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para um espaço vetorial específico e depois calcular a sua dimensão. O conteúdo envolve espaços vetoriais, bases e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender como essas coordenadas estão relacionadas e como isso afeta a formação da base.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o espaço vetorial descrito: estamos lidando com vetores em R^n onde n >= 6. A condição dada é que a segunda, quarta e sexta coordenadas desses vetores são iguais. Ou seja, se um vetor é (x1, x2, x3, x4, x5, x6, dots, xn), então precisamos que x2 = x4 = x6.

Passo 3

Para facilitar, vamos expressar a condição de igualdade das coordenadas de forma matemática:
x2 = x4 = x6
Isso significa que, ao invés de termos três variáveis independentes (segunda, quarta e sexta coordenadas), elas são todas iguais a uma única variável, digamos, y. Assim, podemos reescrever o vetor da seguinte maneira:
(x1, y, x3, y, x5, y, x7, dots, xn)
Aqui, y representa o valor comum às coordenadas segunda, quarta e sexta.

Passo 4

Agora, vamos identificar as variáveis livres. As coordenadas que podem assumir qualquer valor são: x1, x3, x5, x7, dots, xn e y. Contudo, como y está relacionado às coordenadas x2, x4 e x6, na verdade temos n - 2 variáveis independentes (já que y substitui duas coordenadas).

Passo 5

Com isso em mente, podemos construir uma base para esse espaço vetorial. Cada vetor da base terá um 1 em uma das posições das variáveis independentes e 0 nas demais, respeitando a condição de igualdade das coordenadas segunda, quarta e sexta. Por exemplo:
  • Vetor com 1 em x1: (1, 0, 0, 0, 0, 0, dots, 0)
  • Vetor com 1 em x3: (0, 0, 1, 0, 0, 0, dots, 0)
  • Vetor com 1 em x5: (0, 0, 0, 0, 1, 0, dots, 0)
  • Vetor com 1 em xn: (0, 0, 0, 0, 0, 0, dots, 1)
  • Vetor representando y: (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, dots, 0)
Esses vetores formam uma base porque são linearmente independentes e qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Resposta

A base do espaço é formada pelos vetores que têm 1 em uma das coordenadas independentes (exceto a segunda, quarta e sexta) e pelo vetor (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, dots, 0). Portanto, a dimensão desse espaço vetorial é n - 2.

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