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Um fio longo em forma de casca cilíndrica de raio interno a e externo b conduz uma corrente dada pela densidade J=alpha / r, onde alpha é uma constante e r é a distância ao eixo central. No centro desta casca existe um fio cilíndrico longo e fino que conduz uma corrente I. a) Calcule alpha para que o campo magnético no interior a casca seja constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletromagnetismo juntos! A gente tem um fio central que conduz uma corrente e uma casca cilíndrica ao redor desse fio com raio interno e externo . A densidade de corrente na casca é dada por , onde é uma constante e é a distância do centro. Nosso objetivo aqui é calcular o valor de de maneira que o campo magnético dentro da casca seja constante. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por um caminho fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère, que diz:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, é o campo magnético, é um elemento de comprimento ao longo do caminho escolhido, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo caminho. Vamos escolher um caminho cilíndrico coaxial com a casca para facilitar nossos cálculos.

Passo 3

Vamos considerar um cilindro imaginário (superfície gaussiana) com raio entre e e comprimento . Queremos que o campo magnético seja constante dentro da casca, ou seja, não varia com . Portanto, será uniforme e paralelo ao caminho escolhido.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a corrente total Icasca = integrala^r J cdot 2pi r' L , dr' = integrala^r alphar' cdot 2pi r' L , dr' = 2pi alpha L (r - a) que passa por esse cilindro. Essa corrente inclui a corrente do fio central e a corrente na casca desde o raio até o raio . A densidade de corrente na casca é , então a corrente na casca é:
Aqui, é a variável de integração que representa a distância do eixo central.

Passo 5

A corrente total que atravessa nosso cilindro imaginário é, portanto:
Ienc = I + 2pi alpha L (r - a)

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère, temos:
B cdot 2pi r L = mu0 ( I + 2pi alpha L (r - a) )
Aqui, é a integral do campo magnético ao longo do caminho cilíndrico.

Passo 7

Queremos que o campo magnético B = mu02pi r ( I + 2pi alpha L (r - a) ) seja constante dentro da casca, o que significa que ele não pode depender de 2pi alpha L = mu02pi cdot 0 e I - 2pi alpha L a = constante . Então, vamos reorganizar a equação para isolar :
Para ser constante, o termo que multiplica dentro dos parênteses deve cancelar a dependência de . Isso só é possível se:
No entanto, para simplificar, percebemos que a única maneira de ser constante é fazendo compensar a variação de causada pela corrente adicional na casca.

Passo 8

Vamos isolar B = mu0 I2pi r + mu0 alpha (r - a) na equação obtida:
dBdr = -mu0 I2pi r^2 + mu0 alpha = 0
Para mu0 alpha = mu0 I2pi r^2 ser constante, a derivada de alpha = I2pi r^2 em relação a alpha = I2pi a deve ser zero:
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por :
No entanto, para que seja constante e não dependa de , deduzimos que :

Resposta

Portanto, a constante boxedalpha = dfracI2,pi, a que faz com que o campo magnético dentro da casca seja constante é:

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