23a
Um fio longo em forma de casca cilíndrica de raio interno e externo conduz uma corrente dada pela densidade , onde é uma constante e é a distância ao eixo central. No centro desta casca existe um fio cilíndrico longo e fino que conduz uma corrente . a) Calcule para que o campo magnético no interior a casca seja constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletromagnetismo juntos! A gente tem um fio central que conduz uma corrente e uma casca cilíndrica ao redor desse fio com raio interno e externo . A densidade de corrente na casca é dada por , onde é uma constante e é a distância do centro. Nosso objetivo aqui é calcular o valor de de maneira que o campo magnético dentro da casca seja constante. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por um caminho fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère, que diz:
Aqui, é o campo magnético, é um elemento de comprimento ao longo do caminho escolhido, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo caminho. Vamos escolher um caminho cilíndrico coaxial com a casca para facilitar nossos cálculos.

Passo 3

Vamos considerar um cilindro imaginário (superfície gaussiana) com raio entre e e comprimento . Queremos que o campo magnético seja constante dentro da casca, ou seja, não varia com . Portanto, será uniforme e paralelo ao caminho escolhido.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a corrente total que passa por esse cilindro. Essa corrente inclui a corrente do fio central e a corrente na casca desde o raio até o raio . A densidade de corrente na casca é , então a corrente na casca é:
Aqui, é a variável de integração que representa a distância do eixo central.

Passo 5

A corrente total que atravessa nosso cilindro imaginário é, portanto:

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère, temos:
Aqui, é a integral do campo magnético ao longo do caminho cilíndrico.

Passo 7

Queremos que o campo magnético seja constante dentro da casca, o que significa que ele não pode depender de . Então, vamos reorganizar a equação para isolar :
Para ser constante, o termo que multiplica dentro dos parênteses deve cancelar a dependência de . Isso só é possível se:
No entanto, para simplificar, percebemos que a única maneira de ser constante é fazendo compensar a variação de causada pela corrente adicional na casca.

Passo 8

Vamos isolar na equação obtida:
Para ser constante, a derivada de em relação a deve ser zero:
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por :
No entanto, para que seja constante e não dependa de , deduzimos que :

Resposta

Portanto, a constante que faz com que o campo magnético dentro da casca seja constante é:

Exercícios relacionados

Considere uma carga pontual positiva movimentando-se com velocidade em um campo magnético . Se a velocidade inicial da carga é , mostre que sua trajetória será helicoidal e expressa por e .
b) o valor e sentido da corrente induzida na espeira quando seu lado inferior está a uma distância do fio. (Resp. a) ; b) horário)
Duas cargas pontuais são colocadas sobre o eixo e estāo separadas por uma distância , onde está na origem e . Sendo e , determine:
b) Se uma terceira carga for colocada no sistema, qual deve ser a sua posição para que a força resultante sobre ela seja nula. ( 1,0 pts)
Duas cargas pontuais são colocadas sobre o eixo e estāo separadas por uma distância , onde está na origem e . Sendo e , determine:
a) A força entre as cargas. ( )