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Um fio longo em forma de casca cilíndrica de raio interno
e externo
conduz uma corrente dada pela densidade
, onde
é uma constante e
é a distância ao eixo central. No centro desta casca existe um fio cilíndrico longo e fino que conduz uma corrente
. a) Calcule
para que o campo magnético no interior a casca seja constante.
Um fio longo em forma de casca cilíndrica de raio interno
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletromagnetismo juntos! A gente tem um fio central que conduz uma corrente
e uma casca cilíndrica ao redor desse fio com raio interno
e externo
. A densidade de corrente na casca é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância do centro. Nosso objetivo aqui é calcular o valor de
de maneira que o campo magnético dentro da casca seja constante. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por um caminho fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère, que diz:
Aqui,
é o campo magnético,
é um elemento de comprimento ao longo do caminho escolhido,
é a permeabilidade do vácuo, e
é a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo caminho. Vamos escolher um caminho cilíndrico coaxial com a casca para facilitar nossos cálculos.
Passo 3
Vamos considerar um cilindro imaginário (superfície gaussiana) com raio
entre
e
e comprimento
. Queremos que o campo magnético
seja constante dentro da casca, ou seja, não varia com
. Portanto,
será uniforme e paralelo ao caminho escolhido.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a corrente total
que passa por esse cilindro. Essa corrente inclui a corrente do fio central
e a corrente na casca desde o raio
até o raio
. A densidade de corrente na casca é
, então a corrente na casca é:
Aqui,
é a variável de integração que representa a distância do eixo central.
Passo 5
A corrente total que atravessa nosso cilindro imaginário é, portanto:
Passo 6
Aplicando a Lei de Ampère, temos:
Aqui,
é a integral do campo magnético ao longo do caminho cilíndrico.
Passo 7
Queremos que o campo magnético
seja constante dentro da casca, o que significa que ele não pode depender de
. Então, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Para
ser constante, o termo que multiplica
dentro dos parênteses deve cancelar a dependência de
. Isso só é possível se:
No entanto, para simplificar, percebemos que a única maneira de
ser constante é fazendo
compensar a variação de
causada pela corrente adicional na casca.
Passo 8
Vamos isolar
na equação obtida:
Para
ser constante, a derivada de
em relação a
deve ser zero:
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por
:
No entanto, para que
seja constante e não dependa de
, deduzimos que
:
Resposta
Portanto, a constante
que faz com que o campo magnético dentro da casca seja constante é: