Duas cargas pontuais são colocadas sobre o eixo x e estāo separadas por uma distância L=50,0 cm, onde q1 está na origem e q2 em x=L. Sendo q1=1,50 mu C e q2=-2,00 mu C, determine:
b) Se uma terceira carga for colocada no sistema, qual deve ser a sua posição para que a força resultante sobre ela seja nula. ( 1,0 pts)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre duas cargas pontuais no eixo separadas por uma distância cm. A carga está na origem e está em . O que precisamos descobrir é onde colocar uma terceira carga para que a força resultante sobre ela seja nula. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb:
F = ke |q1 q2|r^2
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as cargas,
  • é a distância entre elas.
Queremos que a força sobre a terceira carga ( ) seja zero, ou seja, as forças exercidas por e em devem se anular.

Passo 3

Vamos supor que a terceira carga está em uma posição ao longo do eixo . Existem duas possibilidades:
  1. À esquerda de (em )
  2. À direita de (em )
Vamos analisar cada caso para ver qual deles pode fazer as forças se cancelarem.

Passo 4

Caso 1: ke |q1 q3|x^2 = ke |q2 q3|(L + x)^2
  • A distância entre |q1|x^2 = |q2|(L + x)^2 e 1,50 times 10^-6x^2 = 2,00 times 10^-6(0,5 + x)^2 é .
  • A distância entre e é .
Como é positiva e é negativa, a força exercida por em será de repulsão (se for positiva) ou atração (se for negativa). A força exercida por será o contrário.
Para as forças se cancelarem, elas devem ter magnitudes iguais e direções opostas.
Aplicando a Lei de Coulomb:
Podemos simplificar e (assumindo que ):
Substituindo os valores:

Passo 5

Resolvendo a equação:
1,50x^2 = 2,00(0,5 + x)^2
Multiplicando ambos os lados por 1,50 (0,5 + x)^2 = 2,00 x^2 :
1,50 (0,25 + x + x^2) = 2,00 x^2
Expandindo 0,375 + 1,50 x + 1,50 x^2 = 2,00 x^2 :
0,375 + 1,50 x + 1,50 x^2 - 2,00 x^2 = 0
Distribuindo o 1,50:
0,375 + 1,50 x - 0,50 x^2 = 0
Reorganizando:
0,75 + 3,00 x - x^2 = 0
x^2 - 3,00 x - 0,75 = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os decimais:
Rearranjando:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática:
x^2 - 3,00 x - 0,75 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 3,00 pm raiz9,00 + 3,002
x = 3,00 pm raiz12,002
x = 3,00 pm 3,4642
Obtemos duas soluções:
  1. m (não faz sentido nesse caso, pois )
  2. m

Passo 7

A única solução válida para 1,50 times 10^-6(0,232)^2 approx 1,500,0538 approx 27,87 , N/C é 2,00 times 10^-6(0,5 - 0,232)^2 = 2,000,268^2 approx 2,000,0718 approx 27,86 , N/C m, ou seja, cm.
Verificação:
Colocando m:
As magnitudes são praticamente iguais, confirmando a posição correta.

Resposta

A terceira carga deve ser colocada a 23,2 centímetros à esquerda de , ou seja, em cm, para que a força resultante sobre ela seja nula.

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