Considere uma carga pontual positiva q movimentando-se com velocidade v= (vx, vy, vz) em um campo magnético B=(0, B, 0). Se a velocidade inicial da carga é vo=(0, vo y, vo z), mostre que sua trajetória será helicoidal e expressa por (x-xo)^2+ (z-zo)^2=(m vo zq B)^2 e y=yo+vo y t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma carga pontual positiva que está se movendo com uma certa velocidade dentro de um campo magnético . A velocidade inicial da carga é . Nosso objetivo aqui é mostrar que a trajetória dessa carga é helicoidal e expressar isso nas equações dadas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre o movimento de cargas em campos magnéticos, especificamente a força de Lorentz e o movimento resultante.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a lei que descreve a força exercida sobre uma carga em movimento dentro de um campo magnético. Essa é a força de Lorentz, dada por:
F = q (v times B)
Essa força é perpendicular tanto à velocidade da carga quanto ao campo magnético, e vai influenciar a trajetória da carga.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times B = i & j & k vx & vy & vz 0 & B & 0 = (vz cdot 0 - vy cdot 0)i - (vx cdot 0 - vz cdot 0)j + (vx cdot B - vy cdot 0)k . Sabendo que v times B = (0, 0, vx B) e , temos:
Simplificando, isso resulta em:

Passo 4

Agora, aplicando a força de Lorentz:
F = q (v times B) = q (0, 0, vx B) = (0, 0, q vx B)
Essa força atua apenas na direção , o que indica que a aceleração ocorre nessa direção.

Passo 5

Vamos considerar as equações do movimento para cada direção. Sabemos que:
F = m a
Então, para cada componente:
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
No nosso caso, e , então e . Apenas .

Passo 6

Como a aceleração nas direções vx = constante vy = vo y vz = vo z + az t = vo z + q vx Bm t e é zero, as velocidades nessas direções permanecem constantes. Ou seja:
Mas, como o campo magnético só está na direção , e a força só afeta a direção , isso faz com que a carga se mova com velocidade constante em e uma aceleração em .

Passo 7

Para determinar a trajetória, vamos integrar as velocidades. A posição em cada direção é dada por:
x(t) = xo + vx t y(t) = yo + vo y t z(t) = zo + vo z t + 12 q vx Bm t^2
Isso mostra que a carga está se movendo de forma linear em e , enquanto em há um movimento circular devido à componente constante de .

Passo 8

Para mostrar que a trajetória é helicoidal, consideramos a combinação do movimento circular nas direções (x - xo)^2 + (z - zo)^2 = ( m vo zq B )^2 e y = yo + vo y t com o movimento linear em . A equação da trajetória circular nas direções e é:
E a posição em é:
Isso caracteriza uma hélice, onde a carga gira em torno de uma linha reta em enquanto avança nessa direção.

Resposta

A trajetória da carga é helicoidal, descrita pelas equações:
(x - xo)^2 + (z - zo)^2 = ( m vo zq B )^2
e
y = yo + vo y t

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