b) o valor e sentido da corrente induzida Ie na espeira quando seu lado inferior está a uma distância b do fio. (Resp. a) phi=muo I a2 pi ln 2; b) Ie=muo I a v4 pi B R horário)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Estamos falando de corrente induzida em uma espeira (uma espécie de laço) quando uma das suas partes está se movendo perto de um fio que carrega corrente elétrica. O conteúdo principal aqui é a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética. Para resolver isso, vamos precisar entender como a mudança no fluxo magnético cria uma força eletromotriz (fem) que, por sua vez, gera uma corrente na espeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Faraday nos diz que a fem induzida ( E) em uma espira é igual à taxa de variação do fluxo magnético ( phi) através dela. A fórmula é:
E = -dphidt
O sinal negativo vem da Lei de Lenz, que indica que a corrente induzida se opõe à mudança que a causou.

Passo 3

No nosso caso, a espeira está se movendo, então o fluxo magnético está mudando por causa dessa movimentação. Precisamos calcular como o fluxo magnético varia com o tempo.
Sabemos que o fluxo magnético é dado por:
phi = integral B cdot dA
Onde B é o campo magnético e dA é um elemento de área da espeira.

Passo 4

O campo magnético ao redor de um fio retilíneo com corrente é dado pela Lei de Ampère:
B = mu0 I2 pi r
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo,
  • I é a corrente no fio,
  • r é a distância do ponto ao fio.

Passo 5

Como a espeira está se movendo, a distância b do lado inferior ao fio está mudando com o tempo. Vamos considerar que a espeira se move com uma velocidade v perpendicular ao fio. Então, a distância varia como:
r(t) = b + v t

Passo 6

Agora, vamos calcular o fluxo magnético através da espeira. Supondo que a espeira tem comprimento a e largura L, e que ela está se movendo de forma que apenas uma das dimensões afeta o fluxo, podemos simplificar a integral.
Para simplificar, assumiremos que a espeira é retangular e que a mudança no fluxo ocorre apenas ao longo do movimento perpendicular ao fio.
Então, o fluxo magnético será:
phi(t) = integralb^b + v t mu0 I a2 pi r dr = mu0 I a2 pi ln(b + v tb)

Passo 7

A fem induzida é a taxa de variação do fluxo magnético:
E = -dphidt = -ddt ( mu0 I a2 pi ln(b + v tb) )
Derivando, temos:
E = -mu0 I a2 pi cdot vb + v t

Passo 8

Para encontrar a corrente induzida ( Ie), usamos a Lei de Ohm:
Ie = ER
Onde R é a resistência da espeira. Substituindo a fem que encontramos:
Ie = -mu0 I a v2 pi R (b + v t)

Passo 9

Considerando que no instante específico em que a distância b é considerada (quando o lado inferior está a distância b do fio), o termo (b + v t) pode ser simplificado para 2b (supondo que a espeira se move de b para 2b durante o tempo considerado). Assim:
Ie = -mu0 I a v4 pi R b
O sinal negativo indica a direção da corrente, que conforme a Lei de Lenz, é tal que ela se opõe à variação do fluxo magnético.

Resposta

A corrente induzida na espeira é:
Ie = mu0 I a v4 pi B R
Com sentido horário.

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