24-29 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
Assíntota vertical
se
,
se
,
se
se
Assíntota vertical
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas. Basicamente, precisamos considerar uma assíntota vertical em
, analisar o comportamento da primeira derivada
para identificar onde a função está crescendo ou decrescendo, e também observar a segunda derivada
para entender a concavidade do gráfico. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, usando conceitos de derivadas e comportamento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a assíntota vertical em
. Isso significa que, próximo a
, a função tende ao infinito, ou seja, não está definida exatamente em
, mas se aproxima de
ou
. Isso já nos dá uma pista de que a função pode ter uma forma tipo raso ou similar a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira derivada
:
-
se : Isso indica que a função está crescendo nessa região. -
se e : Aqui, a função está decrescendo.
Então, temos um ponto crítico em
, onde a derivada muda de positiva para negativa, sugerindo um máximo relativo nesse ponto.
Passo 4
Em seguida, vamos olhar para a segunda derivada
:
-
se : A concavidade da função está voltada para baixo nessa região. -
se : A concavidade está voltada para cima aqui.
Isso indica que em
ocorre uma mudança de concavidade, também conhecido como ponto de inflexão.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
- A função tem uma assíntota vertical em
. - Para
, a função está crescendo e com concavidade para baixo. - Em
, temos um ponto máximo. - Para
, a função está decrescendo ainda com concavidade para baixo. - Em
, há uma assíntota vertical e a concavidade muda para cima. - Para
, a função continua decrescendo, mas agora com concavidade para cima.
Resposta
O gráfico da função possui uma assíntota vertical em
, apresenta um máximo relativo em
, está crescendo para
e decrescendo para
(exceto em
), com concavidade para baixo quando
e concavidade para cima quando
.