24-29 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
Assíntota vertical x = 0, f'(x) > 0 se x < -2, f'(x) < 0 se x > -2 (x ≠ 0),
f''(x) < 0 se x < 0, f''(x) > 0 se x > 0

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas. Basicamente, precisamos considerar uma assíntota vertical em , analisar o comportamento da primeira derivada para identificar onde a função está crescendo ou decrescendo, e também observar a segunda derivada para entender a concavidade do gráfico. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, usando conceitos de derivadas e comportamento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a assíntota vertical em . Isso significa que, próximo a , a função tende ao infinito, ou seja, não está definida exatamente em , mas se aproxima de ou . Isso já nos dá uma pista de que a função pode ter uma forma tipo raso ou similar a .

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira derivada :
  • se : Isso indica que a função está crescendo nessa região.
  • se e : Aqui, a função está decrescendo.
Então, temos um ponto crítico em , onde a derivada muda de positiva para negativa, sugerindo um máximo relativo nesse ponto.

Passo 4

Em seguida, vamos olhar para a segunda derivada :
  • se : A concavidade da função está voltada para baixo nessa região.
  • se : A concavidade está voltada para cima aqui.
Isso indica que em ocorre uma mudança de concavidade, também conhecido como ponto de inflexão.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  • A função tem uma assíntota vertical em .
  • Para , a função está crescendo e com concavidade para baixo.
  • Em , temos um ponto máximo.
  • Para , a função está decrescendo ainda com concavidade para baixo.
  • Em , há uma assíntota vertical e a concavidade muda para cima.
  • Para , a função continua decrescendo, mas agora com concavidade para cima.

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em , apresenta um máximo relativo em , está crescendo para e decrescendo para (exceto em ), com concavidade para baixo quando e concavidade para cima quando .

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